b> k - коефіцієнти, які залежать тільки від вибору вузлів, але
чи не від виду функції (k = 0,1,2, ........, n).
R - залишковий член, або похибка квадратурної формули.
Відкидаючи залишковий член R, ми здійснюємо похибка усічення.
При розрахунку до неї додаються ще різні похибки округлення.
Розіб'ємо відрізок інтегрування [a, b] на n рівних частин системою точок
x i = x o + i .. h; (i = 0,1,2, ......, n)
x o = a; x n = b;
h = (ba)/n ;
і обчислимо підінтегральною функцію в отриманих вузлах
y i = f (x i ) ; (i = 0,1,2, ......, n)
1.2. Висновок формул чисельного інтегрування з використанням інтерполяційного полінома Лагранжа
Нехай для y = f (x) відомі в n +1 точках X0, X1, X2 .. Xn проміжку [a, b] відповідні значення f (xi) = yi (i = 0,1,2 .. n). Потрібен наближено знайти
В
За заданим значенням Yi побудуємо поліном Лагранжа. Замінимо f (x) поліномом Ln (x). Тоді
В
де Rn (f) - помилка квадратурної формули. Звідси, скориставшись виразом для Ln (x), отримуємо наближену квадратурну формулу:
В
Для обчислення коефіцієнтів Аi зауважимо що:
1.Коеффіціент Ai при даному розташуванні вузлів не залежить від вибору функції f (x);
2.для полінома ступеня n остання формула точна.
Положиста y = xK (k = 0,1,2 .., n), отримаємо лінійну систему з n +1 рівнянь:
В
де
В
(k = 0,1, .., n), з якої можна визначити коефіцієнти А0, А1, .., АN.
Визначник системи є визначник Вандермонда
В
Зауважимо, що при застосуванні цього методу фактичне побудова полінома Лагранжа Ln (x) є зайвим. Простий метод підрахунку похибки квадратурних формул розроблений С.М. Нікольським. p> Тепер розглянемо декілька найпростіших квадратурних формул:
1.3 Формула трапецій і середніх прямокутників.
Замінимо дугу АВ стягивающей її хордою, отримаємо прямолінійну трапецію АаВb, площа якої приймемо за наближене значення інтеграла
B
y В
0 a b x
рис 1.3.1 Криволінійна трапеція
В
Рис. 1.3.2. Метод трапецій. <В В В В В
Рис. 1.3.3. Метод середніх прямокутників.
В
За методами трапецій і середніх прямокутників відповідно інтеграл дорівнює сумі площ прямокутних трапецій, де підстава трапеції яка-небудь мала величина (Точність), і сума площ прямокутників, де підставу прямокутника яка-небудь мала величина (точність), а висота визначається...
