б) Екстраполяційні методи Адамса ........................................................... 20
в) Метод Мілна ........................................................................................ 20
г) Крайові задачі для звичайних диференціальних рівнянь ..................... 21
6. Наближені методи рішення диференціальних рівнянь з приватними похідними ............................................................................................. 21
а) Класифікація диференціальних рівнянь другого порядку ........................ 22
б) Постановка крайових задач ........................................................................ 23
в) Метод кінцевих різниць (метод сіток) ..................................................... 24
г) Різницеві схеми для вирішення рівняння теплопровідності ........................... 25
д) Різницеві схеми для вирішення рівняння коливання струни ........................... 26
7. Список літератури .................................................................................... 27
В В В В В В В В
1. Рішення систем лінійних рівнянь
В
Системи лінійних рівнянь (СЛР) мають у обчисленнях дуже велике значення, так як до них може бути приведене наближене рішення широкого кола завдань. Так, основними джерелами виникнення СЛР є теорія електричних ланцюгів, рівняння балансів і збереження в механіці, гідравліці і т.д. Існує кілька способів вирішення таких систем, які в основному діляться на два типи: 1) точні методи , представляють собою кінцеві алгоритми для обчислення коренів системи, 2) ітераційні методи , що дозволяють отримувати коріння системи із заданою точністю шляхом сходяться нескінченних процесів. Зауважимо, що навіть результати точних методів є наближеними через неминучі заокруглень. Для ітераційних процесів також додається похибка методу.
Приклад системи лінійних рівнянь:
Або в матричному вигляді:,
де матриця коефіцієнтів системи;
- вектор невідомих; - вектор вільних членів.
Схема Халецького
В
Запишемо систему лінійних рівнянь в матричному вигляді:,
де A = [a ij ] - квадратна матриця порядку n і
, - вектори-стовпці.
Уявімо матрицю A в вигляді твору нижньої трикутної матриці B = [b ij ] і верхньої трикутної матриці C = [c ij ] з одиничною діагоналлю, де
і.
Тоді елементи b ij і c ij визначаються за формулами
і
Звідси шуканий вектор x може бути обчислений з рівнянь і.
Так як матриці B і C - трикутні, то системи легко вирішуються:
і
З цих двох формул видно, що числа y i вигідно обчислювати разом з коефіцієнтами c ij . Цей метод отримав назву схеми ...
