не і чисто уявне число. p> Paccтoяніe від початку Про площині до точки М (z) називається модулем комплексного числа z і позначається | z | або r:
| z | = r = | OM | =
.
Якщо - орієнтований кут, утворений вектором з віссю х, то за визначенням функції синуса і косинуса
звідки і тому.
Таке уявлення комплексного числа z називається його тригонометричної формою. Оригінал уявлення z = x + iy називають алгебраїчній формою цього числа. При тригонометричному поданні кут називають аргументом комплексного числа і позначають ще через arg z:
. p> Якщо дано комплексне число z = x + iy, то число називається комплексно-сполученим (або просто сполученим ) цього числа z. Тоді, очевидно, і число z пов'язане числу. Точки М (z) і симетричні щодо осі х (рис.2). p> З рівності слід y = 0 і назад. Це означає, що число, рівне своєму сопряженному, є дійсним і назад. p>
Точки з комплексними координатами z і-z симетричні щодо початкової точки О. Точки з комплексними координатами z і симетричні щодо осі у. З рівності z = випливає x = 0 і назад. Тому умова z = є критерієм чисто мнимого числа. p> Для будь-якого числа z, очевидно, | z | = | | = |-z | = | |. p> Сума та добуток двох сполучених комплексних чисел є дійсними числами:.
Число, поєднане з сумою, твором або ж приватним комплексних чисел, є відповідно сума, твір або ж приватне чисел, сполучених даними комплексним числах:
Ці рівності можна легко перевірити, користуючись формулами для операцій над комплексними числами. p> Кожній точці М (z) площині - взаємно однозначно відповідає вектор. Тому комплексні числа можна інтерпретувати векторами, прикладеними до точки O. Складання і віднімання комплексних чисел відповідає додавання і віднімання відповідних їм векторів. Саме якщо а і b - комплексні координати точок A і В відповідно, то число з = а + b є координатою точки С, такий, що (рис.3). Комплексному числу d = ab відповідає така точка D, що. p> Відстань між точками А і В дорівнює:
| АВ | = | а-b |. (1)
Так як | z | 2 = z, то
| AB | 2 = (ab) (
). (2)
Рівняння z = r2 визначає коло з центром О радіуса r. Ставлення, в якому точка С ділить даний відрізок АВ, виражається через комплексні координати цих точок так:
звідки
(3)
Якщо покласти і, то
(4)
Умови (4) необхідні і достатні для того, щоб точки А, В, С були колінеарні. p> При точка С є серединою відрізка AB, і назад. p> Тоді:
c =
. (4a)
Нехай маємо паралелограм ABCD. Його центр має комплексну координату = за умови, що точки А, В, С, D мають відповідно комплексні координати а, b, с, d. Якщо не виключати випадок виродження паралелограма, коли всі його вершини опиняються на одній прямій, то рівність
a + c = b + d (5)
є необхідною і достатньою умовою того, щоб чотирикутник ABCD був параллелограммом.
Задача ...
