Зрозуміло, що доказ досить розглянути для - простого.
Доведемо дане В« Затвердження 1 В»методом від протилежного. Припустимо, що рівняння вирішуваний у відмінних від нуля попарно взаємно простих цілих числах, і. І якщо наприкінці докази ми прийдемо до протиріччя, довівши, що числа, і не є попарно взаємно простими цілими числами, то це означатиме, що В« Твердження 1 В» справедливо. p> З рівняння (1) випливає:
(2),
де - парне ціле число, тому що і - непарні;
в‰ 0, тому і - взаємно прості непарні цілі числа, не рівні нулю;
- непарне ціле число при та - непарних, - простому.
********
Примітка
Те, що - непарне число при та - непарних , добре відомий факт в теорії чисел.
Для підтвердження даного факту достатньо використовувати розкладання бінома
Ньютона,,, ... І тоді отримаємо для:
- суму трьох непарних доданків, рівну непарному числу. p> Для:
- суму п'яти непарних доданків, рівну непарному числу. p> Для мірою - простий можна довести, що при і непарних
(3) - сума непарних доданків, рівна непарному числу (Алексєєв С.Ф. Два узагальнення класичних формул// Квант. - 1988. - № 10. - С. 23).
*******
Нехай (4),
де - непарне число (на підставі (3) ).
Тоді рівняння (2) прийме вигляд:
(5),
де - парне число, яке можна представити у вигляді
(6),
де - ціле число (при = 0 а = 0 , що суперечить нашому допущенню),
(4) - Непарне число. br/>
Тоді з співвідношення (5) з урахуванням (6) отримуємо:
, тобто (7), де - ціле число (), - натуральне число. p> Суму ж непарних чисел і позначимо через, тобто
(8),
де - ціле число (, тому що і - взаємно прості непарні цілі числа, не рівні нулю).
З (7) і (8) визначимо і:
=> => br/>
Звідки (11) - непарне число при - непарному і - парному, т.к. , Причому (12) (явно) прі.
********
Висновок:
На підставі (8) і (11) маємо: ( 13) - непарне число ;
з співвідношень (7) і (12) маємо: (14) (явно) при.
Це додаткова інформація про властивості передбачуваних взаємно простих числах , яка в Надалі нам дуже знадобиться.
*******
Тепер спробуємо висловити суму квадратів чисел c і. Враховуючи співвідношення (9) і (10), отримаємо:
В
Таким чином, отримали наступне рівняння:
(15), p> де - цілі числа , які, будучи рішеннями рівняння (15), у свою чергу, можуть бути виражені через інші цілі числа таким чином:
В
(16) - непарне число при - непарному;
(17) - непарне число при - непарному;
(18) - непарне число при - непарному;
(19) - парне число.
Примітка: у всіх наступних дослідженнях (Випадках) нас не цікавитимуть
t = 0 і r = 0 (при t = 0 і - парні з (16) і (17), при r = 0 = 0 (з (19)) => а = 0 (з (6)), що суперечить нашому допущенню). p> *******
Примітка.
Загальний вигляд рівняння (15) наступний:
(20),
цілими рішеннями якого ( це відомий факт у теорії чисел ) є:
(21);
(22);
(23);
(24), де - цілі числа.
Те, що (21), ..., (24) є рішеннями рівняння (20), легко перевіряється їх підстановкою в дане рівняння (20), яке при цьому перетворюється в тотожність . br/>
*******
Для простоти позначимо праві частини рівнянь (16), ..., (19) буквами С, В, N, К, т.е .
= З
= В
= N
= К ,
і розглянемо з Випадок , коли в правих частинах рівнянь (16), ..., (19) перед С, В, N, К, стоять В«ПлюсиВ» і виконується Умова 1 . p> условіе1 (початок).
з = З
b = B
n = N
В
Випадок В«+В».
(16 +) = З - непарне число при - непарному;
(17 +) = В - непарне число при - непарному;
(18 +) = N - непарне ...
