ій механіці методу Релея - Рітца, який шляхом мінімізації потенційної енергії зводить задачу до системи лінійних рівнянь рівноваги. Після того, як було встановлено зв'язок МСЕ з процедурою мінімізації, він став застосовуватися до завдань, описуваних рівняннями Лапласа або Пуассона. Область застосування МКЕ значно розширилася, коли було встановлено (у 1968 році), що рівняння, що визначають елементи в задачах, можуть бути легко отримані за допомогою варіантів методу зважених нев'язок, таких як метод Гальоркіна або метод найменших квадратів. Це зіграло важливу роль у теоретичному обгрунтуванні МСЕ, тому що дозволило застосовувати його при вирішенні багатьох типів диференціальних рівнянь. Таким чином, метод кінцевих елементів перетворився на загальний метод чисельного рішення диференціальних рівнянь або систем диференціальних рівнянь. p align="justify"> До сімдесятих років відноситься поява математичної теорії кінцевих елементів. Тут можна виділити праці І. Бабусі, Р. Галлагера, Ж. Дек-лу, Дж. Одена, Г. Стренга, Дж. Фікса. Значний внесок у розробку теоретичних основ МСЕ внесли і російські вчені. В. Г. Корнєєв вказав на збіг математичної суті МСЕ і ВРМ. Зіставлення МСЕ з низкою варіаційних методів наведено в працях Л. А. Розіна. Під керівництвом А. С. Сахарова розроблена моментная схема кінцевих елементів. p align="justify"> З розвитком обчислювальних засобів можливості методу постійно розширюються, також розширюється і клас вирішуваних завдань. Практично всі сучасні розрахунки на міцність проводять, використовуючи метод кінцевих елементів. br/>
Метод зважених нев'язок
МСЕ грунтується на методі зважених нев'язок, суть якого полягає в наступному: підбирається функція, що задовольняє диференціальних рівнянь та крайовим умовам, але підбирається не довільно, оскільки такий підбір навряд чи можливий вже в двовимірному просторі, а з використанням спеціальних методів.
Нехай стан деякої середовища описується таким диференціальним оператором, із заданим граничним умовою:
Тут L - диференційний оператор (наприклад, оператор Лапласа), - фазова змінна - невідома функція, яку слід знайти, - величина, незалежна від V, (Г) = V г - гранична умова першого роду (Діріхле), тобто на кордоні задано значення фазової змінної.
Будемо шукати рішення за допомогою функції, що має наступний вигляд:
(1)
Тут V * - наближене рішення, - функція, що задовольняє граничним умовам, m - пробні функції, які на межі області повинні бути рівні нулю, m - невідомі коефіцієнти, які необхідно відшукати з умови найкращого задоволення диференціальному оператору, - кількість пробних функцій .
Якщо підставити V * у вихідний диференційний оператор, то отримаємо невязку, приймаючу в різн...
