их точках області різне значення:
(2)
Необхідно сформулювати умова, що дозволяє мінімізувати цю невязку по всій області. Одним з варіантів такої умови може бути наступне рівняння:
В
Тут W n - деякі вагові функції, залежно від вибору яких розрізняють варіанти методу зважених нев'язок, - область простору , в якій шукається рішення.
При виборі в якості вагових функцій дельта-фукций будемо мати метод, який отримав назву метод поточечной колокації, для кусково-постійних функцій - метод колокації по підобласті, але найбільш поширеним є метод Гальоркіна, в якому в якості вагових функцій вибираються пробні функції N. У цьому випадку, якщо кількість пробних функцій дорівнює кількості вагових функцій, після розкриття певних інтегралів приходимо до замкнутої системи алгебраїчних рівнянь щодо коефіцієнтів A.
В
де коефіцієнти матриці K і вектора Q обчислюються за формулами:
В В
Після знаходження коефіцієнтів A і підстановки їх у (1), отримуємо рішення вихідної задачі.
Недоліки методу зважених нев'язок очевидні: оскільки рішення шукається відразу по всій області, то кількість пробних і вагових функцій повинне бути значним для забезпечення прийнятної точності, але при цьому виникають труднощі при обчисленні коефіцієнтів Kij і Qi, особливо при рішенні плоских і об'ємних завдань, коли необхідно буде обчислення подвійних і потрійних інтегралів по областях з криволінійними кордонами. Тому на практиці цей метод не використовувався, поки не був винайдений метод кінцевих елементів. p align="justify"> Ідея МСЕ полягає в тому, щоб в методі зважених нев'язок скористатися простими пробними і ваговими функціями, але не у всій області S, а в її окремих підгалузях (кінцевих елементах). Точність рішення задачі необхідно забезпечити використанням великої кількості кінцевих елементів (КЕ), при цьому КЕ можуть бути простої форми та обчислення інтегралів по них не повинно викликати особливих труднощів. Математично перехід від методу зважених нев'язок до МСЕ здійснюється з використанням спеціальних пробних функцій, які також називаються глобальними базисними функціями, що володіють такими властивостями:
) у вузлі апроксимації функції мають значення рівне одиниці;
) функції відмінні від нуля тільки в КЕ, що містять цей вузол апроксимації, у всій решті області дорівнюють нулю.
Загальний алгоритм статичного розрахунку МКЕ
В принципі загальний алгоритм розрахунку МКЕ зводиться до послідовності кроків (матричних операцій), в результаті виконання яких визначаються необхідні параметри рішення задачі (переміщення, деформації, напруження). На практиці розрахунки по МКЕ завжди виконуються і...
