другий закон Ньютона <# "25" src = "doc_zip7.jpg"/> (декартові компоненти в даний момент часу).
Узагальнюючи, ми можемо працювати з узагальненими координатами <# "15" src = "doc_zip9.jpg"/>, та їх похідними, узагальненими швидкостями. Радіус-вектор пов'язаний з узагальненими координатами деяким рівнянням перетворення:
В
де - число ступенів свободи системи.
Наприклад, для плоского руху математичного маятника довжиною логічним вибором узагальненої координати буде кут відхилення від вертикалі підвісу, для якого рівняння перетворення мають вигляд
В
Термін узагальнені координати залишився від того періоду, коли Декартові координати <# "15" src = "doc_zip17.jpg"/> частинки. Робота <# "15" src = "doc_zip18.jpg"/>, дорівнює. Використовуючи другий закон Ньютона, запишемо:
В
Перепишемо це рівняння в термінах узагальнених координат і швидкостей. З правого боку рівності,
В
Ліва сторона рівності складніша, але після деяких перестановок ми отримаємо:
В
де - кінетична енергія частинки. Рівняння для роботи запишеться у вигляді:
В
Це вираз повинен бути вірно для будь-яких змін , тому
В
для кожної узагальненої координати . Можна й далі спростити цей вираз, якщо зауважити, що - функція тільки і , і - функція узагальнених координат і . Тоді не залежить від узагальнених швидкостей:
В
Вставляючи це в попереднє рівняння і замінюючи , отримаємо рівняння Лагранжа:
В
Так само, як і рівняння Ньютона, рівняння Лагранжа є рівняннями другого порядку, що випливає з їх виводу. Для кожної узагальненої координати є одне рівняння Лагранжа. Коли (тобто узагальнені координати - просто декартові координати), можна легко перевірити, що рівняння Лагранжа зводяться до другого закону Ньютона.
Вищенаведений висновок може бути узагальнений на систему з частинок. Тоді буде узагальнених координат, пов'язаних з координатами положення рівняннями перетворення. У кожному з рівнянь Лагранжа, - повна кінетична енергія системи, і повна потенційна енергія.
Практично, часто легше вирішити проблему, використовуючи-рівняння Ейлера Лагранжа <# "13" src = "doc_zip45.jpg"/> можуть бути обрані з урахуванням симетрій <# "justify"> 2. Постановк...
