Реферат Акустичні хвилі в середовищі з флуктуірует щільністю

Тема: Контрольные работы

ищі

.1 Одновимірна випадок

Густина лагранжіана для вектора пружного зміщення в суцільний одновимірної середовищі визначається виразом

, (1)

де перший і другий член-щільність кінетичної і потенційної енергії, відповідно, G-щільність речовини, A-константа взаємодії. Рівняння руху має вигляд

. (2)

Для початку розглянемо випадок, коли G і A постійні величини, які не залежать від координати. br/>

,, (3)

. (4)

Отримали рівняння коливань у звичному вигляді.

Покладемо, що щільність речовини змінюється в залежності від координати, а константа взаємодії залишається постійною.

,, (5)

. (6)

Зручно переписати, де G-середня щільність, - середньоквадратична флуктуація щільності, - безрозмірна випадкова функція з математичним очікуванням, рівним нулю, і дисперсією. Кутові дужки означають усереднення по ансамблю реалізацій випадкових функцій. br/>

. (7)

Покладемо, що константа взаємодії змінюється залежно від координати, а щільність речовини залишається постійною. Відразу замінимо

, (8)

,, (9)

. (10)

У більшості реальних матеріалів, переважає неоднорідність якогось одного фізичного параметра. Тому ми тут не будемо розглядати випадок одночасних флуктуацій A і G.

Розглянемо рівняння коливань (7) з неоднорідною щільністю G (x).

Виконаємо в (7) перетворення Фур'є

. (11)

В (11) після інтегрування по виникає згортка.

, (12)

де. (13)

Введемо позначення

,, (14)

тоді рівняння (12) перепишеться у вигляді

. (15)

Якщо покласти (), тобто щільність середовища однорідна, то рівняння (15) приймає вигляд

. (16)

Оскільки амплітуда пружної хвилі відмінна від нуля, то рівняння (16) виконується при. Вирішення цього дисперсійного рівняння дає лінійний закон дисперсії хвилі

, (17)

де - швидкість звуку, - хвильовий вектор збуджень.

У разі неоднорідної щільності, закон дисперсії повинен деяким чином модифікуватися. Отримаємо цю модифікацію на основі теорії збурень, вважаючи параметр. p> Запишемо формальне рішення рівняння (15)

. (18)

Підставимо це рішення в підінтегральний вираз рівняння (15), отримаємо

. (19)

Враховуючи, що

, (20)

усереднити по випадкових реалізаціям

. (21)

Наближено розчіплюватися коррелятор

. (22)

Для однорідної випадкової функції справедливо, або

, (23)

де - спектральна щільність кореляційної функції. Підставимо (23) в (21)