аближенні Бурре (25) для усередненої хвилі.
Дисперсійне співвідношення несе інформацію про спектральної щільності, тобто про кореляційної функції флуктуирующего в просторі параметра щільності середовища.
Для оцінок виберемо експонентну кореляційну функцію та пов'язані з нею перетворенням Фур'є спектральну щільність (див. додаток 1).
;, (26)
де - характерне хвилеве число (2/характерний розмір неоднорідності, - радіус кореляцій випадкової функції, що описує неоднорідності); D-дисперсія (у нашому випадку D = 1 за визначенням).
Підставимо (26) і (14) в (25), отримуємо
. (27)
Введемо позначення. Тоді рівняння (27) прийме вигляд
(28)
або
. (29)
З граничних умов, де - дійсні і позитивні числа, а k-дійсне хвильове число, яке визначається розмірами зразка.
Під інтегралом будемо вважати - дійсним. Відповідно до обраної формою перетворення Фур'є маємо
. (30)
З урахуванням (30) введемо позначення
. (31)
Цей інтеграл обчислимо методом вирахувань вводячи комплексну змінну Z. Контур представлений на рис. 2. . br/>В
Рис. 2. Контур інтегрування. Обхід проти годинникової стрілки
Особливі точки-полюси першого порядку. В результаті маємо
. (32)
Підставивши (32) в рівняння (29), отримаємо
. (33)
Вирішуючи це рівняння отримаємо модифікований закон дисперсії і загасання хвилі в наближенні Бурре.
Зручно працювати з безрозмірними величинами. Введемо позначення,. Тоді (33) приймає вигляд
. (34)
Як було зазначено вище,,. Тоді рівняння (34) від комплексної змінної, можна представити у вигляді системи двох рівнянь
(35)
Отримали нелінійну систему рівнянь, яку можна вирішувати чисельно. Ця система була вирішена двома способами: за допомогою вкладеного в Maple 10 чисельного методу розв'язання систем рівнянь і методу релаксації (див. додаток 2). Збіг вийшло до шостого знака. p> Якщо в правій частині (33) покласти як це робилося в роботах [2], (розкладання Релея-Шредінгера), то маємо
. (36)
Таким чином, для модифікованого закону дисперсії пружної хвилі отримуємо просте вираження,
, (37)
збігається з відповідним виразом в роботі [2].
У безрозмірних величинах (36) приймає вигляд
. (38)
На рис. 3 наведені криві: суцільні-наближення Бурре (рішення системи (35)), штрихові-наближення Релея-Шредінгера, точкова пряма-лінійний закон дисперсії. Було взято. br/>В
Рис. 3. Дисперсійні співвідношення. Суцільні криві-наближення Бурре (рішення системи (35)), штрихові криві-наближення Релея-Шредінгера, точкова пряма відповідає необуреному дисперсионному співвідношенню. . br/>
.2 Тривимірний випадок
Рі...
