ум отримаємо рівність
.
Крім того, ряд як формальну нескінченну суму можна записати у вигляді
.
Таким чином, нескінченну суму теж можна розглядати як ряд [1], [2], [3], [5].
Далі будемо розглядати також формальні ряди виду, де ns - небудь послідовність натуральних чисел, і досліджувати їх на збіжність.
Твердження 1. Залишковий член rn ряду можна представити у вигляді ряду в тому сенсі, що:
. його сума дорівнює rn, коли вихідний ряд сходиться
. це подання приймається як формальне рівність, коли обидва рівності розходяться;
. інші випадки не мають місця.
Доказ почнемо з п.3. При для часткових сум ряду і sk + n ряду має місце рівність. p> Ясно, що при фіксованому n збіжність і розбіжність послідовностей {} і {sk + n} мають місце одночасно, що й означає справедливість твердження п.3.
У разі 1, тобто коли обидва ряди сходяться, можна перейти до межі при в рівності. Тоді отримаємо
;
тим самим твердження п. 1 доведено [1].
Щодо затвердження п. 2 слід зауважити, що формальне рівність
В
Можна розглядати як визначення однієї з можливих операцій над формальними числовими рядами. Приведенні подібних операцій необхідно лише вимагати, щоб праві і ліві частини рівностей переходили б у рівність між числами в разі наявності збіжності хоча б для однієї з частин рівності, що дійсно має місце в нашому випадку. Доказ закінчено. p> Твердження 2. Відкидання будь-якого кінцевого числа членів в нескінченній сумі або поповнення до неї будь-якої кінцевого числа нових доданків не впливає на збіжність ряду. p> Доказ. Розглянемо випадок відкидання доданків, так як другий випадок розбирається аналогічно. Отже, нехай ми відкинули члени ряду з номерами. Решта доданки переномеруем в порядку зростання їх колишніх номерів. Загальний член получившейся таким чином послідовності позначимо. Тоді при будь-якому маємо
.
Звідси випливає, що послідовності часткових сум цих рядів і сходяться і розходяться одночасно. Затвердження доведено. [1]. p> Твердження 3. Якщо і, то
Затвердження 4. Якщо і, то. p> Доказ тверджень 3 і 4 є прямий наслідок визначення суми ряду і арифметичних властивостей сходяться послідовностей {} і {} як часткових сум рядів і. Доказ закінчено. p> Затвердження 5. (Необхідний ознака збіжності ряду). Якщо ряд сходиться, то при. Іншими словами, {} є нескінченно мала послідовність. p> Доказ. Маємо. Звідси при отримаємо, що й потрібно було довести. [1], [2], [5]. p> Прімери.
. Ряд сходиться, і його сума дорівнює 1. p> Дійсно, маємо
В
при, тобто . [1]. p>. Сума членів нескінченної геометричної прогресії виду
, при.
У випадку маємо, і ряд розходиться. При справедливо рівність
.
Відомо, що при і {} розходиться при.
Таким чином, зазначений ряд сходиться до ...
