суми при і розходиться при,. [1].
. Гармонійний ряд розходиться, а ряд сходиться при.
Застосуємо теорему 2. При всіх і маємо
.
Таким чином умови теореми 2 будуть виконані, якщо покласти і при будь-якому в якості і взяти числа. Тим самим расходимость ряду встановлена. Для доказу збіжності ряду по теоремі Вейєрштрасса достатньо довести обмеженість його часткових сум, оскільки вони монотонно зростають. Розглянемо будь-яке з умовою. Тоді справедлива наступна оцінка
В
Таким чином, часткові суми {} обмежені в сукупності, що й означає збіжність шуканого ряду. [1].
Критерій Коші
Теорема 1 (критерій Коші). Для збіжність ряду необхідно і достатньо, щоб для будь-якого існував номер такий, що при всякому натуральному і всіх мало місце рівність
.
Доказ. Твердження теореми рівносильно критерієм Коші для збіжності {} часткових сум ряду, що згідно з визначенням і є збіжність його самого. Теорема доведена. [1], [2], [5]. p> Теорему 1 можна переформулювати таким чином, щоб мати критерій расходімості ряду в прямому вигляді.
Теорема 2 (критерій Коші для расходімості ряду). Для расходімості ряду необхідно і достатньо, щоб існувало хоча б одне з умовою, що для будь-якого номер знайдуться натуральні і, для яких справедливо рівність
. [1].
знакопостоянного ряди
Визначення 5. Всяке вираз виду називається відрізком ряду. [1]. p> Визначення 6. Знакозмінними називаються ряди, члени яких мають то позитивний, то негативний знаки [2]. p> Визначення 7. Ряд називається поруч з невід'ємними членами, якщо при всіх n маємо. [1], [2]. p> Теорема 2. Для збіжність ряду, де при всіх n, необхідна і достатня обмеженість послідовності його часткових сум. p> Доказ. Нехай - n-я часткова сума ряду. Оскільки, маємо, що {} не убуває. Тепер необхідний результат випливає з критерію Вейерштраса для збіжності монотонної послідовності. Доказ закінчено. [1]. p> Приклад. Нехай і не убуває і позитивна. Тоді ряд розходиться, а ряд сходиться. p> Дійсно, для часткових сум і цих рядів маємо
[1].
Порівняння рядів
Теорема 3 (ознака порівняння). Нехай і - два ряди з невід'ємними членами і нехай, починаючи з деякого, для всіх маємо. Тоді:
. збіжність ряду тягне за собою збіжність ряду;
. з расходімості ряду слід расходимость ряду.
Доказ. Без порушення збіжності можна відкинути перші членів кожного ряду. При всіх вважаємо
.
Тоді для будь-якого маємо. У разі 1. послідовність {} обмежена, отже, і {} теж обмежена і ряд сходиться. У випадку 2. послідовність, тому, тобто ряд розходиться. Теорема доведена. [1], [4], [5]. p> Зауваження. Кажуть, що ряд мажорірует ряд, а останній, у свою чергу, його мінорірует. p> Теорема 4 (узагальнений ознака порівняння). ...
