дку розглянемо суму квадратів відхилень спостережуваних значень змінної від очікуваних значень
В
Необхідна умова мінімуму призводить до наступної оцінці
(5)
Для моделі 2-го порядку сума квадратів відхилень спостережуваних значень від очікуваних значень має вигляд
В
Необхідна умова мінімуму призводить до наступної системи рівнянь
В
2.2 Фільтр Калмана
Фільтр Калмана також можна використовувати для оцінки параметра моделі.
Розглядається система лінійних різницевих рівнянь виду
, (6)
, (7)
- n-мірний вектор станів, z - l-мірний вектор вимірювань. і - послідовність гауссовских випадкових величин з нульовим математичним очікуванням. Будемо вважати що вони незалежні між собою. p> Завдання полягає в тому, щоб на основі отриманих вимірів отримати оцінку
Оцінка обчислюється як рішення різницевого рівняння
, (8)
- матричний коефіцієнт, - нев'язка. Чим вона менша, тим ближче оцінка до істинного значення. Коефіцієнт K вибирається таким чином, щоб оцінка була незміщеної з мінімальною матрицею ковариаций. p> Якщо ввести помилку, то ця помилка буде задовольняти наступному рівнянню:
,
де
В В
- послідовність гауссовских випадкових величин з властивостями
В В
Далі введемо квадратну матрицю
В В
Введемо і як середнє і матрицю коваріації
Отримаємо наступне
В В
Залишилося вибрати K таким чином, щоб мінімізувати
Уявімо праву частину у вигляді повного квадрата відносно K:
В
З останнього рівності отримаємо наступне:
В
(9)
(10)
- оптимальний коефіцієнт.
- рішення рівняння Риккати. Для спрощення моделювання замінюємо стаціонарним значенням. , Яка знаходиться з алгебраїчного рівняння Риккати
(11)
Оцінювання параметрів регресії за допомогою фільтра Калмана
Так як оцінюємо параметр, а він є постійним, то рівняння для нього має вигляд
(12)
Рівняння спостереження має вигляд
(13)
Тоді порівнюючи (6), (7) з (12), (13), отримаємо
В В В В
У разі рівняння авторегресії 2-го порядку оцінюємо вектор параметрів. У цьому випадку матриця A є одиничною 2х2, вектор спостереження, матриця нульова,. br/>
3. Моделювання
Були отримані масиви даних, що підкоряються моделі авторегресії 1-го і 2-го порядку. Параметри моделі 1-го порядку:
.
Параметри для моделі 2-го порядку:
.
В якості шумовий компоненти використовувалися випадкові величини, що мають нормальне, рівномірне розподілення, а так само величини, щільність розподілу яких дорівнює
.
Всі шуми мають нульове середні і одиничну дисперсію. На малюнках 1-3 з...
