орівнює або, то кажуть, що функція f (x) має в точці х 0 нескінченну похідну (що дорівнює або , відповідно). В
1.1 Геометричний сенс поняття похідної
Нехай на площині x0y дана безперервна крива y = f (x) (див. рис. 1). p> Розглянемо на графіку кривої точки M o (x o ; f (x o )) і M 1 (x o + D x; f (x o + D x)) . Проведемо січну M o M 1 . Нехай - кут нахилу січної M o M 1 щодо осі 0х . Якщо існує межа, то пряма, через M o і утворює з віссю 0х кут, називається дотичній до графіка даної кривої в точці M o . Таким чином, під дотичної до кривої y = f (х) в точці M o природно розуміти граничне положення січної M o M 1 , до якого вона прагне, коли D x В® 0 .
Нехай N (x o + D x; f (x o )) - точка, яка доповнює відрізок M o M 1 до прямокутного трикутника M o M 1 N. Так як сторона M o N паралельна осі 0 х, то
В
Переходячи до межі в лівій і правій частинах цієї рівності при D x в†’ 0, отримаємо
В
Тому геометричний зміст похідної полягає в тому, що f '(x 0 ) - Це тангенс кута нахилу (кутовий коефіцієнт) дотичній до графіка y = f (х) в точці (x o ; f (x o )).
Знайдемо рівняння дотичної до графіка в точці M o (x o ; f (x o )) у вигляді y = kx + b. Так як M o f (x), то повинно виконуватися рівність f (x 0 ) = kx 0 + b, звідки b = f (x 0 ) - kx 0 . Отже, дотична задається рівнянням
y = kx + f (x 0 ) - kx 0 = f (x 0 ) + k (x - x 0 ).
Оскільки k = f '(x 0 ), то рівняння дотичної має вигляд
В
y = f (x 0 ) + f '(x 0 ) (x - x 0 ).
Як обчислюють похідну?
1. Записують функцію у вигляді y = f (х).
2. Обчислюють Dy - приріст функції: D у = f (x + D x) - f (x).
3. Складають ставлення
4. Представляють, що Dx прагне до нуля, і переходять до межі = y '(х 0 ) .
5. Обчислюють похідну в точці х 0 : y '(х) = y' (х 0 <...
