ує, що лінійна система відновлює рівноважний стан тільки тоді, коли коріння характеристичного рівняння розташовані зліва від уявної осі.
У загальному випадку умова стійкості АСУ має вигляд
В
де у (0) - початкове значення керованої величини;
- усталене відхилення керованої величини або статична помилка (у разі астатической системи e = 0).
Реальні системи завжди нелінійні, проте, якщо для аналізу поведінки системи можна провести лінеаризацію рівнянь, то про її стійкості можна судити виходячи з першого методу А.М. Ляпунова:
В§ Якщо характеристичне рівняння линеаризованной системи має всі корені з негативними речовими частинами, то реальна система буде стійка в малому.
В§ Якщо характеристичне рівняння линеаризованной системи має хоча б один корінь з позитивного дійсною частиною, то реальна система завжди нестійка.
В§ Якщо характеристичне рівняння линеаризованной системи має хоча б один нульовий корінь або пару чисто уявних коренів, то поведінка реальної системи не може визначатися її лінеаризованих рівнянням. У цьому випадку відкинуті при лінеаризації рівняння члени вищого порядку малості визначають поведінку системи і можуть перетворити її як у стійку, так і в нестійку.
Таким чином, аналіз стійкості линеаризованной системи зводиться до знаходження розташування коренів на комплексній площині, яке однозначно визначається коефіцієнтами характеристичного рівняння. Однак не завжди можна обчислити корені характеристичного рівняння в аналітичному вигляді. Відповідно до теореми Абеля, корені рівняння вище четвертого порядку в загальному випадку не можуть бути знайдені аналітично в принципі. Тому бажано мати такі критерії, за допомогою яких можна було судити про стійкості системи безпосередньо за коефіцієнтами характеристичного рівняння, що залежать від параметрів систем, і визначати вплив змінюваних параметрів на розташування коренів характеристичного рівняння на комплексній площині. Ці критерії називають критеріями стійкості і поділяються на алгебраїчні і частотні.
В
Алгебраїчні критерії стійкості
В
Необхідне умова стійкості. Характеристичне рівняння системи після визначення його коренів може бути представлено у вигляді
В
Якщо система стійка і всі її коріння мають негативні речові частини, то після розкриття дужок у останньому виразі отримаємо характеристичне рівняння системи
,
в якому всі коефіцієнти а i , i = 1,2, ... n, будуть суворо більше нуля.
Для стійкості системи необхідно, але недостатньо, щоб всі коефіцієнти її характеристичного рівняння були строго більше нуля.
Поняття недостатності означає, що якщо який-небудь коефіцієнт характеристичного рівняння системи менше нуля або дорівнює нулю, то система нестійка, але позитивність всіх коефіцієнтів ще не означає, що система стійка. Потрібні додаткові дослідження
Критерій стійкості Гурвіца
Нехай дано характеристичне рівняння системи виду
(2)
при а 0 > 0.
Гурвіц запропонував алгебраїчний критерій, який заснований на побудові спеціальних визначників характеристичного рівняння (2), званих визначниками Гурвіца. Вони складаються за такими правилами:
по головній діагоналі виписують всі коефіцієнти від а 1 до а n у порядку зростання індексу;
доповнюють стовпці визначника вгору від діагоналі коефіцієнтами з послідовно зростаючими, а вниз - з послідовно убутними індексами;
на місце коефіцієнтів, індекси яких більше n і менше 0, ставлять нулі.
У відповідності з цими правилами, визначник Гурвіца n-го порядку для рівняння (2) має вигляд:
(3)
Визначники Гурвіца нижчого порядку є діагональними минорами D n . Наприклад, при n = 3
;;
Оскільки в останньому стовпці визначника D n стоять нулі, за винятком, то
В
Критерій Гурвіца формулюється таким чином:
для того щоб АСУ була стійка необхідно і достатньо, щоб всі визначники Гурвіца
В
були позитивними, і при цьому виконувалася умова
a 0 > 0.
Приклад. Дослідити стійкість системи стабілізації кута тангажу літака і визначити критичне значення передавального числа автопілота по куту тангажа. Система задана структурною схемою.
В
На схемі позначено:
k u - передавальне число (коефіцієнт передачі) автопілота по розі тангажа;
передавальна функція рульового приводу;
передавальна функція літака по кутовий швидкості тангажа w z ;
k w z - передавальне число автопілота по кутовий швидкості тангажа.
Для передавальної функції розімкнутої системи можна записати
В
де
В
