поверхні. p> У декартових координатах напруги, що діють на три площини перпендикулярно до цих осях, що проходять через розглянуту точку, мають дев'ять компонент і утворюють тензор напруги (рис. 1). br/>
Рис. 1
В
Перший індекс у означає напрямок прикладеної напруги, другий - площину, перпендикулярну тієї, на яку вона діє. p> Деформації, які виникають під дією напруг, утворюють тензор деформацій. При деформації твердого тіла змінюється відстань між його точками, ці зміни, як правило, є малими. Зміна відстані між двома близькими точками служить характеристикою деформованого стану. Вводиться вектор зміщення в точці
,
де - радіуси вектори, проведені з початку координат, обраного всередині тіла, в близько розташовані один від одного точки. p align="justify"> Компоненти вектора зміщення утворюють тензор деформації
, (1)
Тензор напружень пов'язаний з тензором деформації рівнянням стану, яке для малих деформацій має вигляд закону Гука
В
Тут - пружні модулі, які для ізотропного середовища визначаються через постійні пружності і (постійні Ламі)
,
де - символ Кронекера. І для ізотропного середовища закон Гука приймає вигляд:
(2)
Зміни напруг в просторі викликає прискорення елемента обсягу (частки) твердого тіла. Рівняння руху являє собою другий закон Ньютона для елемента пружною деформованої середовища. У лівій частині рівняння варто твір прискорення на масу одиниці об'єму, в правій - об'ємна сила
(3)
Рівняння закону Гука (2) і рівняння руху (3) пружного середовища є вихідними рівняння для отримання хвильового рівняння.
2. Хвильове рівняння. Швидкість L і T хвиль
Завдання поширення пружних хвиль у безмежному твердому тілі вирішується аналогічно, як у газах і в рідинах, на основі хвильового рівняння з використанням граничних і початкових умов. Хвильові рівняння для твердих тіл виводяться, виходячи із закону Гука (2) і рівняння руху (3). Представляючи напруга (2) з урахуванням (1) у рівняння руху (3), отримаємо рівняння для вектора зсуву (рівняння Ламе):
(4)
Виходячи з того, що будь-яке векторне поле можна представити у вигляді суми потенційної і вихровий частин і таке подання єдине, запишемо зміщення у вигляді
, (5)
де і, так що і це потенційна частина, а - вихрова частина зсуву і - скалярний і векторний потенціали. Використовуючи подання (5) з рівняння руху частинок (4) отримуємо два хвильових рівняння
(6)
(7)
Рівняння (6) описує поширення поздовжніх хвиль. p> Їх фазова швидкість
(8)
Рівняння (7) описує поширення зсувних (поперечних) пружних хвиль зі швидкістю
(9)
Швидкості та пов'язані з пружними параметрами твердого тіла, в...
