асним вектором оператора A, відповідним числу l .
Ми розглянемо тільки оператори, діючі в тривимірному евклідовому векторному просторі V3, елементами якого є вектори з геометричного простору. Тому вектори будуть позначатися зі стрілочкою. При цьому все сказане буде вірно з невеликими змінами і для операторів, що діють в V2 (елементами якого є вектори на площині). Нехай B = {i, j, k} - ортонормованій базис простору V3. Матрицю оператора A щодо цього базису позначимо A. Нехай (x, y, z) - координати вектора щодо даного базису. Тоді рівність (1) можна переписати у координатах:
= l.
Якщо перемножити матриці і перенести всі члени в ліву частину, отримаємо систему однорідних рівнянь
В
Як відомо, вона має ненульовий рішення тоді і тільки тоді, коли її визначник дорівнює нулю:
det = 0. (3)
Розкриваючи визначник, ми отримаємо кубічне рівняння відносно l, яке називається характеристичним рівнянням оператора A. Нехай l1, l2, l3 - коріння цього рівняння. p> Підставами l1 в систему (2) і знайдемо ненульове рішення (x1, y1, z1). Тоді (x1, y1, z1) є власний вектор оператора A, відповідний числу l1. Потім, підставляючи по черзі l2 і l3, знаходимо відповідні їм власні вектори (x2, y2, z2) і (x3, y3, z3). При цьому кожен з векторів визначається з точністю до множення на ненулевую постійну, тобто вектор k (xi, yi, zi) буде рішенням системи (2) для l = li при будь-якому k В№ 0. Але нам достатньо мати хоча б одне рішення для кожного з власних чисел l1, l2, l3. Кубічне рівняння (3) обов'язково має хоча б одне дійсне рішення l1, а l2 і l3 можуть бути комплексними (при цьому вони обов'язково будуть комплексно сполучені один до одного: l3 =). У цьому випадку оператор A буде мати тільки один дійсний власний вектор (x1, y1, z1). Нагадаємо, що якщо a, b, c - коріння кубічного рівняння
x3 + px2 + qx + r = 0,
то його можна перетворити до вигляду
(x - a) (x - b) (x - c) = 0. br/>
Якщо ж кубічне рівняння має тільки два дійсних кореня a і b, то його можна перетворити до вигляду
(x - a) (x - b) 2 = 0 (або (x - a) 2 (x - b) = 0).
У цьому випадку говорять, що корінь b (або a) має кратність 2. Якщо кубічне рівняння має тільки один корінь a, то його можна перетворити до вигляду
(x - a) 3 = 0. br/>
Тоді кажуть, що корінь a має кратність 3. p> Рівняння (3) теж може мати кратні корені. Нехай, наприклад, корінь l1 має кратність 1, а корінь l2 - кратність 2. При підстановці l2 в (2) може вийде система рівнянь, що має ранг 2. p> Тоді у оператора A буде тільки два власних вектора і. p> При підстановці l2 в (2) може вийти система лінійних рівнянь, що має ранг 1. p> Тоді ми можемо знайти два неколінеарних власних вектора і, координати яких задовольняють цій системі. p> Тоді будь-який вектор, комплан...
