ння многочлени, найменш ухиляються від нуля.
многочлен Чебишев програмна реалізація
Розглянемо таку задачу: серед всіх многочленів ступеня n зі старшим коефіцієнтом 1 знайти такий многочлен Tn (х), для якого величина
В
є мінімальною. Многочлен, що володіє цією властивістю, називається многочленом, найменш ухиляється від нуля на відрізку [- 1, 1] або многочленом Чебишева. Нижче буде показано, що функція
В
є многочленом Чебишева (див. графіки в розділі "Програми").
Розглянемо спочатку функцію
В
яка відрізняється від Тn (х) тільки постійним множником. Проводячи перетворення
В
переконуємося в тому, що справедливо рекурентне співвідношення
В
Крім того, згідно маємо . Звідси і з по індукції легко довести, що Pn (x) - багаточлен ступеня n зі старшим коефіцієнтом Отже, Tn (x) - багаточлен ступеня n зі старшим коефіцієнтом 1.
4. Випадок довільного відрізка
Іноді потрібно знайти багаточлен, найменш ухиляється від нуля на заданому відрізку [a, b] серед усіх многочленів ступеня n зі старшим коефіцієнтом 1. Ця задача зводиться до попередньої за допомогою заміни
В
переводить відрізок у відрізок . При такій заміні многочлен Чебишева
В
перетвориться до виду
В
причому коефіцієнт при виявляється рівним . Отже, многочленом, найменш ухиляється від нуля на [a, b], серед всіх многочленів ступеня n зі старшим коефіцієнтом 1 є многочлен
В
Коріння цього многочлена розташовані в точках
В
а його максимальне відхилення від нуля одно
В
5. Диференціальне рівняння многочленів Чебишева
Багаточлени Чебишева виникають як вирішення деяких типів диференціальних рівнянь і при розкладанні функцій у ряди.
Многочлен є рішенням диференціального рівняння
.
Рівняння називається рівнянням Чебишева. Замінивши аргумент за формулою, одержимо рівняння
В
6. Програмна реалізація
Для N значень незалежної змінної, рівномірно розподілених на відрізку [a. b], побудувати таблицю значень многочлена Чебишева першого роду цілого порядку, використовуючи його подання у вигляді рекурентного співвідношення.
Значення N, a, b...
