ами. Для зручності коефіцієнти системи аij (i = 1, 2,., M; j = 1, 2,., N) і вільні члени bi (i = 1, 2,., M) забезпечені індексами. Перший індекс коефіцієнтів аij відповідає номеру рівняння, а другий індекс - номеру невідомої х i, при якій коефіцієнт поставлений. Індекс вільного члена bi відповідає номеру рівняння, в яке входить bi. p align="justify"> Дамо визначення деяких понять, необхідних при вивченні системи рівнянь. Рішенням системи рівнянь називається всяка сукупність чисел ? 1, ? 2, < span align = "justify"> ? n, яка будучи поставлена ​​в систему на місце невідомих х1, х2, ..., хn, звертає всі рівняння системи в тотожності. Система рівнянь називається сумісною, якщо вона має хоча б одне рішення, і несумісною, якщо не має рішень. Спільна система рівнянь називається визначеною, якщо вона має одне єдине рішення, і невизначеною, якщо вона має принаймні два різних рішення.
Дві системи рівнянь називаються рівносильними або еквівалентними, якщо вони мають одне і теж безліч рішень.
Наше завдання полягатиме в знаходженні рішень системи. При цьому можуть виникнути три ситуації:
. Система може мати єдине рішення.
2. Система може мати нескінченну безліч рішень.
. І третій випадок, коли система взагалі не має рішення.
.1.1 Критерій спільності загальної системи лінійних рівнянь
Як вже було зазначено, під загальною системою лінійних рівнянь ми розуміємо систему, в якій число невідомих необов'язково збігається з числом рівнянь.
Нехай дана загальна система лінійних рівнянь і потрібно встановити ознака існування рішення цієї системи, тобто умови, при яких система є спільною.
З коефіцієнтів при невідомих і вільних членів системи складемо матрицю
a11 a12 ... a1n
a21 a22 ... a2n
A = ........................ am2 ... amn
яку назвемо основною матрицею системи, і матрицю
a11 a12 ... a1n b1
a21 a22 ... a2n b2
B = ................................., am2 ... amn bm
яку назвемо розширеної матрицею системи.
Теорема (Теорема Кронекера - Капеллі) Для того щоб система лінійних неоднорідних рівнянь була спільної, необхідно і достатньо, щоб ранг розширеної матриці системи дорівнював рангу її основної матриці.
Доказ. Необхідність. p align="justify"> Нехай система сумісна і c1, c2,., сп - деяке її ріш...
