ення. Тоді мають місце рівності:
а11с1 + а12с2 + ... + а1nсn = b1;
а21с1 + а22с2 + ... + а2nсn = b2;
. .......................................... p align="justify"> аm1с1 + аm2с2 + ... + аmnсn = bm
з яких випливає, що останній стовпець розширеної матриці є лінійна комбінація інших її стовпців з коефіцієнтами с1, с2,., сп. Згідно з пропозицією, останній стовпець матриці В може бути викреслений без зміни її рангу. При цьому ми з матриці В отримаємо матрицю А. Таким чином, якщо ci, cz,., Сп - рішення системи рівнянні, то rang А = rang В.
Достатність. Нехай тепер rang A = rang В. Покажемо, що при цьому система рівнянь совместна. Розглянемо r базисних стовпців матриці А. Очевидно, що вони будуть базисними стовпцями і матриці В. Згідно з теоремою про базисних рядках і стовпцях, останній стовпець матриці В можна представити як лінійну комбінацію базисних стовпців, а отже, як лінійну комбінацію всіх стовпців матриці А, т . е.
b1 = а11с1 + а12с2 + ... + а1nсn; = а21с1 + а22с2 + ... + а2nсn;
. ....................................... = Аm1с1 + аm2с2 + ... + аmnсn,
де c1, c2,., сп - коефіцієнти лінійних комбінацій. Таким чином, системі задовольняють значення x1 = c1,., Хп = сп, отже, вона сумісна. Теорема доведена. br/>
1.1.2 Однорідна система п лінійних рівнянь з n невідомими
Лінійне рівняння називається однорідним, якщо його вільний член дорівнює нулю. Система лінійних рівнянь називається однорідною, якщо всі вхідні в неї рівняння є лінійними однорідними рівняннями. p align="justify"> Однорідна система п лінійних рівнянь з п невідомими має вигляд:
а11х1 + а12х2 + ... + а1nхn = 0;
а21х1 + а22х2 + ... + а2nхn = 0;
.......................................
аn1х1 + аn2х2 + ... + аnnхn = 0.
Безпосередньою перевіркою переконуємося в тому, що однорідна система лінійних рівнянь має нульове рішення: х1 = 0, х2 = 0,., хп = 0.
Таким чином, однорідна система лінійних рівнянь завжди сумісна. Тому важливо з'ясувати, за яких умов вона є визначеною. Покажемо, що однорідна система п лінійних рівнянь з п невідомими має ненульові рішення тоді і тільки тоді, коли визначник її дорівнює нулю. p align="justify"> Справді, нехай D = 0. Так як однорідна система рівнянь є окремим випадком неоднорідної системи, то до неї можна застосувати правило Крамера. Але для однорідної системи все D xi = 0, так як кожен з цих визначників містить стовпець з нулів (bi = 0). Тому система, рівносильна системі, буде мати вигляд <...
