Нехай задано диференціальне рівняння першого порядку з початковою умовою (задача Коші)
dy/dx = F (x, y), (1)
У (х 0 ) = Уо (2)
де F (x, y) - задана функція двох змінних х і у, х 0 , у 0 - відомі числа. Потрібно визначити функцію у? У (х) при x? Х 0 . Рівняння (1) можна розглядати як завдання кривої через її похідну в координатної площині x, у, оскільки відомо як обчислити похідну в кожній точці цієї кривої через її координати. У загальному випадку рівняння (1) задовольняє ціле сімейство кривих; початкова умова (2) дозволяє вибрати з цього сімейства одну певну криву, яка проходить через задану точку х 0 < span align = "justify">, y 0 .
Для чисельного рішення (1), (2) замінимо область безперервної зміни аргументу x дискретною безліччю точок, тобто введемо сітку. Покладемо, що величина х змінюється від значення х = х 0 до значення х = Ь. Тоді, розглядаючи рівномірну сітку, отримуємо вузлові точки x 0 , x 1 , ... x k , ... b, що знаходяться на відстані h одна від одної, тобто
x k +1 -x k = h, k = 0,1 ..., (3)
де h - крок сітки. Відповідні значення функції будемо позначати y k , тобто
y k = y * (x k )
Тут у * (х) - функція, яка є наближеним рішенням (1), (2). Для отримання чисельного рішення, диференціальне рівняння (1) замінюється рівняннями щодо значень функцій у * (х) у вузлових точках. Ці рівняння називаються різницевими. Найпростіше різницеве ​​рівняння для (1) має вигляд
(y k +1 -y k )/h = F (x k , y k ) k = 0,1, ..., (4)
Рівняння (4) випливає з (I), якщо похідну dy/dx наближено представити ...
