енти: В
Визначимо кутову швидкість:
,
де.
Підставляючи, отримаємо повну кінетичну енергію:
.
Потенційна енергія системи
.
Запишемо Лагранжіан системи:
. (1.2)
Підставляючи (1.2) в (1.1) отримаємо систему диференціальних рівнянь, що описує рух механічної системи:
(1.3)
механічний рівняння рівновагу Лагранж
1.2 Визначення стаціонарних рухів механічної системи
Визначимо стаціонарні руху системи, для цього згідно з визначенням, зробимо підстановку
В
система (1.3) прийме вигляд:
(1.4)
Із системи (1.4) виходить рівняння
,
Рівняння розпадається на два рівняння:
і.
З першого рівняння слід і - будь-яке.
Знайдемо рішення другого рівняння,
, або
Зробивши перетворення,
отримаємо що при виконанні умови, або з урахуванням чисельних значень параметрів системи, існують рішення
В
Позначимо.
Безліч стаціонарних рухів зображено на малюнку 2.
В
Рисунок 2 - Безліч стаціонарних рухів
Точки прямий відповідають обертанню пластини навколо вертикальної осі в нижньому положенні. Точки, відповідають одним і тим же рухам, обертанню пластини навколо вертикальної осі в верхньому положенні. Точки кривих, позначають обертання пластини з різними кутовими швидкостями, при відповідному постійному куті відхилення від вертикальної осі. p> Будемо розглядати три стаціонарних руху:
. (1.5)
. (1.6)
. (1.7)
1.3 Виведення рівнянь обуреного руху механічної системи
Дозволимо систему (1.3) щодо других похідних:
(1.8)
Запишемо її в нормальному вигляді, для цього введемо позначення:
(1.9)
отримаємо:
(1.10)
Розглянемо перший невозмущенное рух системи. Визначимо відхилення наступними рівностями:
(1.11)
Перейдемо від системи (1.10) до рівнянь обуреного руху:
(1.12)
Розглянемо другу невозмущенное рух:. Введемо відхилення:
(1.13)
Підставляючи (1.13) у систему (1.10), отримаємо рівняння збуреного руху:
В
Використовую формули приведення, отриману систему можна переписати у вигляді:
(1.14)
Розглянемо третій невозмущенное рух:
Введемо позначення:
Запишемо відхилення:
(1.15)
Підставляючи (1.15) у систему (1.10), отримаємо рівняння збуреного руху для третього необуреного руху:
(1.16)
2. ДОСЛІДЖЕННЯ СТІЙКОСТІ РУХУ МЕХАНІЧНОЇ СИСТЕМИ
...
