r/>
Запишемо рівняння зміни кількості руху елемента оболонки в осьовому напрямку під дією зазначених на малюнку сил. br/>В
Це співвідношення можна перетворити до вигляду
В
або
У цьому рівнянні враховані складові поперечних сил натягу в осьовому напрямку (рис.3), які з'являються в результаті деформації елемента оболонки.
В
З малюнка 3 видно, що
Аналогічно записується рівняння руху стінки в радіальному напрямку. А саме
В
У цій формулі враховані складові поздовжніх сил натягу в радіальному напрямку (Рис.4) які з'являються в результаті деформації елемента оболонки.
В
Зазначені на рисунку 4 прирощення кутів, рівні:
В
Остаточно, одержуємо
або,
з урахуванням рівняння руху стінки судини в радіальному напрямку прийме вигляд
.
Таким чином, рівняння руху стінки мають
(1.1)
1.2 Співвідношення напруги - деформації
У ортотропних вязкоупругих оболонках обурення натяжений легко зв'язати з переміщеннями, якщо обмежуватися розглядом синусоїдальних збурень з кутовою частотою, при яких всі змінні пропорційні. Тоді лінійні співвідношення, що зв'язують напруги, деформації і швидкості деформацій, якщо всі змінні беруться в комплексному вигляді, зводяться до лінійних співвідношенням між напруженнями і деформаціями. Запишемо закон Гука для ізотропного оболонки:
(1.2)
Підставимо в (1.1) і:
В
1.3 Напруги, що діють на стінку
На стінку діють два типи напруг.
I. Гідродинамічні напруги, що діють з боку рідини в трубці і рівні
,
,
в напрямках r і x відповідно. Тут (u, v, 0)-вектор швидкості рідини,
p-обурення тиску рідини.
II. Є також напруги закріплення, що діють з боку матеріалу зовні трубки. Напруги на стінці моделюються в припущенні, що зовнішня тканина вносить додаткову інерційність, жорсткість і в'язкопружну деформування. p> Таким чином, напруги на стінці запишуться у вигляді
(1.4)
1.4 Рівняння руху і кінематичні граничні умови для рідини
Проекції лінеаризованих рівняння кількості руху (рівняння Нав'є-Стокса) в осьовому і радіальному напрямку мають вигляд
(1.5)
Рівняння нерозривності записується як
. (1.6)
Граничні умови на стінці (умови прилипання) запишуться так:
(1.7)
За допомогою рівняння (1.6) спростимо систему (1.5):
Помножимо перше рівняння на, а друге рівняння на.
В
Складемо рівняння між собою і застосувавши рівняння нерозривності одержимо рівняння руху:
(1.8)
Глава 2. Побудова приватного хвильового вирішення основної системи рівнянь...
