вірних знаків числа. А так як значення функції зазвичай відомі з певною похибкою, то все значущі цифри можуть бути втрачені. На графіку крива (1) відповідає зменшенню похибки диференціювання при зменшенні кроку; крива (2) являє собою необмежено зростаючий внесок непереборний похибки вихідних даних - значень функції y (x). Критерій виходу за оптимальний крок при його зменшенні - рішення: залежність результатів обчислень стає нерегулярно яка від величини кроку. br/>В
Нехай ? (x, a ? ) введена як інтерполяційний многочлен Ньютона. У цьому випадку для довільної нерівномірної сітки:
,
для i = 0, 1 ... n-1, інтерполяція поліномом першого ступеня.
,
інтерполяція поліномом другого ступеня.
В
Мінімальне число вузлів, необхідне для обчислення k-й похідної, одно k +1.
Оцінка похибки при чисельному диференціюванні може бути здійснена за формулою,
,
де n - число вузлів функції, k - порядок похідної.
На практиці найчастіше використовуються спрощені формули для рівномірної сітки, при цьому точність нерідко підвищується. Часто використовуються такі формули для трьох вузлів:
, де h = x1 - x0 = const.
.
Виходячи з загального вигляду інтерполяційного полінома можна вивести формули для більш високого порядку точності або для більш високих похідних.
2. Порядок точності
Алгебраїчний порядок точності чисельного методу (порядок точності чисельного методу, ступінь точності чисельного методу, порядок точності, ступінь точності) - найбільша ступінь полінома, для якої чисельний метод дає точне рішення задачі.
Інше визначення: кажуть, що чисельний метод має порядок точності, якщо його залишок дорівнює нулю для будь-якого полінома ступеня, але не дорівнює нулю для полінома ступеня.
Очевидно, що метод лівих (або правих) прямокутників має порядок точності 0, метод Рунге - Кутта (рішення діфференціалних рівнянь) четвертого порядку - 4. Широко відомий метод Гауса по п'яти точках має порядок точності 9. Менш очевидно, але легко показується, що порядок точності методу трапецій - 2, а методу Сімпсона - 4. p align="justify"> Найвища можлива алгебраїчна ступінь точності для методів чисельного інтегрування досягається для методу Гаусса.
Для методу Рунге - Кутта рішення ОДУ порядок точності має інше ...
