я повної, є дуже цінною для практики. p align="justify"> Зазначимо, що всі пропоновані нижче методи, крім методу Левер'є (1840 р.) та методу Якобі (1846 р.), з'явилися в тридцятих роках нашого століття або пізніше.
При викладі чисельних методів ми будемо, як правило, припускати елементи матриць речовими.
1. Алгебраїчна проблема власних значень і власних векторів
Проблема власних значень (частот) виникає при аналізі поведінки мостів, будівель, літальних апаратів та інших конструкцій, що характеризуються малими зсувами від положення рівноваги, а також при аналізі стійкості чисельних схем. Характеристичне рівняння разом з його власними значеннями і власними векторами є основним в теорії механічних та електричних коливань на макроскопічному або мікроскопічному рівнях. br/>
.1 Загальна постановка
Нехай - матриця порядку і - оборотна матриця зі стовпцями. Легко бачити, що рівність еквівалентно системі рівностей
,.
Ці рівності підводять нас до важливих понять власного значення матриці і власного вектора.
Визначення. Нехай - матриця порядку. Число і ненульовий стовпець, пов'язані співвідношенням, називаються власним значенням і власним вектором матриці. Пара, іноді називається власною парою матриці. p> Теорема. Матриця порядку діагоналізуема тоді і тільки тоді, коли вона володіє лінійно незалежною системою власних векторів. p> Доказ. Нехай - лінійно незалежна система власних векторів матриці, відповідних власним значенням:
. . br/>
Матриця оборотна як матриця з лінійно незалежними стовпцями.
Приклад недіагоналізуемой матриці:. Припустимо, що
В
.
Звідси
.
Хоча б одне з чисел має відрізнятися від нуля. Нехай для визначеності. Отримуємо протиріччя, оскільки матриця з нульовим стовпцем не може бути оборотною. p> Теорема. Власні вектори, відповідні попарно різним власним значенням матриці, є лінійно незалежними. p> Нехай - власні вектори для попарно різних власних значень матриці. Нехай. Помножимо обидві частини зліва на матрицю:
.
З даного рівності віднімемо попереднє, помножене на:
.
Звідси ясно, що з лінійної незалежності векторів витікала б лінійна незалежність векторів. Доказ завершується застосуванням індукції. p> Слідство. Якщо матриця порядку має різних власних значень, то вона діагоналізуема. br/>
.2 Характeрістіческое рівняння
Нехай-довільне власне значення матриці. При фіксованому всі відповідні йому власні вектори задовольняють однорідної системи лінійних алгебраїчних рівнянь
.
Число є власним значенням матриці дана система має нетривіальне рішення.
Визначення. Рівняння щодо називається характеристичним рівнянням матриці. Ліва частина цього рівняння є многочлен мірою в...
