ід, званий характеристичним многочленом матриці. p> Затвердження. Характеристичний многочлен матриці має вигляд
,
де є сума всіх мінорів матриці порядку, розташованих на перетині стовпців і рядків з однаковими номерами.
Доказ. Щоб отримати коефіцієнт, потрібно серед членів визначника
В
Вибрати ті і тільки ті члени, які містять твір рівно діагональних членів виду (вони і тільки вони є многочленами мірою від), в кожному з них виділити доданок старшого ступеня виду і підсумувати отримані коефіцієнти. Очевидно, що сума всіх, що відповідають діагональним елементам у фіксованих позиціях, дорівнюватиме мінору матриці, розташованому на рядках і стовпцях, додаткових до рядках і стовпчиках з номерами. p> Зокрема, - величина, звана слідом матриці. Позначення:. У силу формул Вієта, слід дорівнює сумі всіх власних значень з урахуванням кратностей. Зауважимо також, що. p> При власні значення (як коріння багаточлена ступеня) можуть бути виражені в радикалах через коефіцієнти характеристичного многочлена і, отже, через елементи матриці. За таких формул вже не існує (знаменитий результат Абеля, Руффіні і Галуа). br/>
1.3 Алгебраїчна кратність власного значення
Кратність власного значення як кореня характеристичного многочлена називається його алгебраїчної кратністю. З основної теореми алгебри відразу ж випливає наступна
Теорема. Будь-яка комплексна матриця А порядку має комплексних власних значень з урахуванням алгебраїчних кратностей збігаються
Теорема. Характеристичні многочлени подібних матриць збігаються. p> Доказ. Нехай де - оборотна матриця. Тоді
.
Слідство. Власні значення та їх алгебраїчні кратності для подібних матриць збігаються. br/>
2. Класифікація задач на власні значення
Перерахуємо деякі можливі постановки проблеми власних значень.
I. Повна проблема власних значень. Полягає в задачі пошуку всіх власних чисел заданої матриці. У деяких випадках обчислення також і власних векторів. p align="justify"> II. Часткова проблема власних значень. Полягає в обчисленні деякогопідмножини власних чисел, а також, можливо, потрібно відповідних їм власних векторів. Цим підмножиною може бути: а) до найбільших (найменших) власних чисел, б) власні значення, що належать заданому інтервалу. p align="justify"> З іншого боку, при вирішенні проблеми власних значень всі матриці розбиваються на два класи, істотно различающих за властивостями: ермітовим матриці (в матеріальному випадку симетричні) і неермітови (в матеріальному випадку несіметрічние). За цією ознакою виділяють симетричну проблему власних значень і несиметричну. Кожен з цих класів у свою чергу може бути розбитий на підкласи. При цьому зручно виділяти в підкласи матриці, для яких розвинені які небудь спеціальні методи або є ефективні модифікації методів, застосовуваних в загальному випадку. Окремим...
