ієнтів (aij), невідомих (хi) і вільних членів (bi) цієї системи запишемо у вигляді матриць [4]: ​​
= , x = , b = (1.1. 2)
Крім введеної матриці А ми введемо ще і розширену матрицю системи, яка утворюється з матриці А додаванням стовпця правих частин:
(1.1.3)
Матриця системи А і стовпець правих частин b вважаються заданими, а стовпець x шукається, при цьому визначник матриці не повинен рівнятися 0.
1.2 Метод Гаусса
Даний метод є найбільш простим і популярним способом вирішення лінійних систем виду (1.1.1). Він заснований на послідовному виключенні невідомих [5]. p align="justify"> Отже, нехай дана система (1.1.1). Для зручності можна уявити її у вигляді (1.1.3). На першому етапі розділимо всі коефіцієнти першого рядка, а також вільний член на перший коефіцієнт. Таким чином перед х1 в першому рядку вийде одиниця. Тепер наше завдання - виключити змінну х1 з інших рядків, іншими словами зробити коефіцієнти перед х1 нульовими. Для цього замінюємо всі рівняння, починаючи з другого, рівняннями, отриманими складанням кожного з них з першим, помноженим на - , - , ..., - . Таким чином, отримуємо [2]:
(1.2.1)
У загальному вигляді формули для даного етапу виглядають наступним чином [2]:
,
, (i, j = 2 ... n)
На другому етапі проробимо те ж саме, тільки перший рядок в розрахунок не беремо. Ділимо всі елементи другого рядка на , а потім виключаємо змінну х2 з решти рядків шляхом знову ж заміни всіх рівнянь, починаючи з третього, рівняннями, отриманими складанням кожного з них з другим, помноженим на - , - , ..., - . Таким чином, отримуємо [2]:
(1.2.2)
Формули у загальному вигляді [2]:
В
, (i, j = 3 ... n)
Цей процес продовжується до тих пір, поки матриця не буде приведена до виду [2]:
(1.2.3)
Коефіцієнти даної системи отримані за формулами [2]:
В
, (i, j = k +1 ... n, k = 1 ... n-1)
Усі розглянуті вище етапи називаються прямим ходом методу Гауса. Далі йде...
