зворотний хід: значення х обчислюються знизу вгору за формулою [2]:
, (k = n, n-1, ..., 1)
1.3 LU-розкладання матриць
Даний метод безпосередньо пов'язаний з методом Гаусса. У попередньому пункті рішення лінійної системи зводилося до того, що матрицю (1.1.3) шляхом елементарних перетворень зводили до верхньої трикутною матриці (1.2.3). Зауважимо, що, множачи вихідну матрицю на матрицю (1.2.3), вийде нижня трикутна матриця з одиницями на головній діагоналі [5]. Враховуючи цей взаємозв'язок, можна підійти до вирішення лінійної системи інакше, тобто, розклавши вихідну матрицю в добуток двох трикутних матриць А = LU [5, 7]:
(1.3.1)
Тобто систему Ax = b можна переписати у вигляді:
LUx = b (1.3.2)
Введемо вектор допоміжних змінних і (1.3.2) перепишемо у вигляді [2, 7]:
(1.3.3)
Очевидно, щоб знайти х, потрібно спочатку знайти у. Для цього запишемо перше рівняння (1.2.3) у розгорнутому вигляді:
(1.3.4)
Знайти у можна зверху вниз за формулою [7]:
при i = 1,2, ..., n. (1.3.5)
Аналогічно для другого рівняння (1.3.3):
(1.3.6)
Знайти у можна знизу вгору за формулою [7]:
при i = n, n-1, ..., 1 (1.3.7)
1.4 Метод прогонки рішення систем з трехдіагональной матрицями коефіцієнтів
Даний метод зручно застосовувати для так званих стрічкових трехдіагональной матриць виду [10]:
* = (1.4.1)
Кожне рівняння такої системи пов'язує три В«сусідніхВ» невідомих [2, 10]:
, де i = 1 ... n; b1 = 0; dn = 0. (1.4.2)
Припустимо, що існують такі набори чисел і (i = 1 ... n), при яких [10]
(1.4.3)
Зменшимо індекс на одиницю, підставимо отримане в (1.4.2) і висловимо хi [2,10]:
(1.4.4)
Порівнявши (1.4.3) і (1.4.4), отримуємо, що [10]:
(1.4...
