метод хорд.
Розглянемо основні етапи наведених методів знаходження коренів нелінійного рівняння.
Метод половинного поділу.
. У першу чергу потрібно розділити інтервал, в якому треба знайти коріння, навпіл. p align="justify">. Вибираємо з двох одержані інтервалів той, на кінцях якого функція має різні знаки. p align="justify">. Перевіряємо, довжина інтервалу більше заданої точності чи ні. Якщо більше, то повертаємося до виконання першого пункту. p align="justify">. Якщо менше, то він і є рішенням
Розглянемо докладніше.
Дано нелінійне рівняння:
(1.1)
Знайти корінь рівняння, що належить інтервалу [a, b], із заданою точністю
Для уточнення кореня методом половинного поділу послідовно здійснюємо наступні операції:
1. Ділимо інтервал навпіл:
(1.2)
2. В якості нового інтервалу ізоляції приймаємо ту половину інтервалу, на кінцях якого функція має різні знаки
В
Рис. 1.1
Для цього :) Обчислюємо значення функції f (x) в точках a і t.) Перевіряємо: якщо f (a) f (t) <0, те корінь знаходиться в лівій половині інтервалу [a , b] (рис. 1.а). Тоді відкидаємо праву половину інтервалу і робимо переприсвоєному b = t.) Якщо f (a) f (t) <0 не виконується, то корінь знаходиться в правій половині інтервалу [a, b] (рис. 1.б). Тоді відкидаємо ліву половину і робимо переприсвоєному a = t. В обох випадках ми отримаємо новий інтервал [a, b] в 2 рази менший попереднього. p align="justify"> 3. Процес, починаючи з пункту 1, циклічно повторюємо до тих пір, поки довжина інтервалу [a, b] стане рівної або меншої заданої точності, т.е .
(1.3)
Приклад. Методом половинного поділу уточнити корінь рівняння (x) = x4 + 2 x3 - x - 1 = 0, лежить на відрізку [0, 1].
Послідовно маємо: (0) = - 1; f (1) = +1; f (0,5) = 0,06 + 0,25 - 0,5 - 1 = - 1,19 ; (0,75) = 0,32 + 0,84 - 0,75 - 1 = - 0,59; (0,875) = 0,59 + 1,34 - 0,88 - 1 = + 0,05; ( 0,8125) = 0,436 + 1,072 - 0,812 - 1 = - 0,304; (0,8438) = 0,507 + 1,202 - 0,844 - 1 = - 0,135; (0,8594) = 0,546 + 1,270 - 0,859 - 1 = - 0,043 і т.д.
Можна прийняти
x = (0,859 + 0,875) = 0,867
Метод простих ітерацій.
Короткий алгоритм.
. Вихідне рівняння f (x) = 0 приводять до вигляду x = f (x). p align="justify">. Будь-яку точку з інтервалу вважаємо початковим наближенням. p a...
