lign="justify">. Від цієї точки виробляють обчислення ікси з заданим кроком, поки | x (n) - x (n-1) | Не буде менше заданої точності, або поки число ітерацій не перевищить деякий заданий число. p align="justify"> Розглянемо докладніше.
У ряді випадків досить зручним прийомом уточнення кореня рівняння є метод послідовних наближень (метод ітерацій).
Нехай з точністю необхідно знайти корінь рівняння f (x) = 0, що належить інтервалу ізоляції [a, b]. Функція f (x) і її перша похідна неперервні на цьому відрізку. p> Для застосування цього методу вихідне рівняння f (x) = 0 має бути приведене до виду
(1.4)
В якості початкового наближення 0 вибираємо будь-яку точку інтервалу [a, b].
Далі ітераційний процес пошуку кореня будується за схемою:
(1.5)
У результаті ітераційний процес пошуку реалізується рекурентною формулою (1.5). Процес пошуку припиняється, як тільки виконується умова
(1.6)
або число ітерацій перевищить задане число N.
Для того, щоб послідовність х1, х2, ..., хn наближалася до шуканого кореня, необхідно, щоб виконувалася умова збіжності:
(1.7)
В
Рис. 1.2 - Геометричний сенс методу
Метод Ньютона (метод дотичних);
Короткий алгоритм
1. Вибираємо початкову точку в кінці інтервалу. p align="justify">. Проводимо до неї дотичну
. Перетин дотичної з віссю Х дає перше значення кореня х1. p align="justify"> Розглянемо докладніше.
Метод Ньютона відноситься до градієнтним методам, в яких для знаходження кореня використовується значення похідної.
Дано нелінійне рівняння:
f (x) = 0
Знайти корінь на інтервалі [a, b] з точністю .
Метод Ньютона заснований на заміні вихідної функції f (x), на кожному кроці пошуку дотичній, проведеної до цієї функції. Перетин дотичної з віссю Хдает наближення кореня (Мал. 1.3). p align="justify"> Виберемо початкову точку x 0 = b (кінець інтервалу ізоляції). Знаходимо значення функції в цій точці і проводимо до неї дотичну, перетин якої з віссю Хдает нам перше наближення кореня x 1 .
В
Рис. 1.3
1 = x 0 - h 0 ,
де
(1.8)
Тому
(1.9)
В результаті іт...
