жливі тільки три випадки:
Якщо? > 0, тоді рівняння має три різних речових кореня.
Якщо? < 0, то рівняння має один дійсний і пару комплексно сполучених коренів.
Якщо? =0, тоді хоча б два кореня збігаються. Це може бути, коли рівняння має подвійний речовинний корінь і ще один відмінний від них речовинний корінь; або, все три кореня збігаються, утворюючи корінь кратності 3. Розділити ці два випадки допомагає результант кубічного рівняння і його другої похідної: у многочлена є корінь кратності 3 тоді і тільки тоді, коли зазначений результант так само дорівнює нулю.
Коріння кубічного рівняння пов'язані з коефіцієнтами таким чином:
1.2 Методи рішення кубічних рівнянь
Найбільш поширений метод розв'язання кубічних рівнянь - метод перебору.
Спочатку шляхом перебору знайдемо один з коренів рівняння. Справа в тому, що кубічні рівняння завжди мають принаймні один дійсний корінь, причому цілий корінь кубічного рівняння з цілими коефіцієнтами є дільником вільного члена d. Коефіцієнти цих рівнянь зазвичай підібрані так, що шуканий корінь лежить серед невеликих цілих чисел, таких як: 0, ± 1, ± 2, ± 3. Тому ми будемо шукати корінь серед цих чисел і перевіряти його шляхом підстановки в рівняння. Імовірність успіху при такому підході дуже висока. Припустимо, що цей корінь.
Друга стадія рішення - це поділ многочлена на двочлен x - x1. Згідно з теоремою Безу це поділ без залишку можливо, і ми отримаємо в результаті многочлен другого ступеня, який треба прирівняти до нуля. Вирішуючи отримане квадратне рівняння, ми знайдемо (чи ні) залишилися два кореня.
Рішення двучленного кубічного рівняння
двучленного кубічне рівняння має вигляд (2)
Це рівняння приводиться до виду діленням на коефіцієнт A, відмінний від нуля. Далі застосовується формула скороченого множення сума кубів:
З першої дужки знаходимо, а квадратний тричлен має лише комплексні корені.
Зворотні кубічні рівняння
Возвратне кубічне рівняння має вигляд і B-коефіцієнти.
Проведемо угруповання:
Очевидно, що x=- 1 є коренем такого рівняння, а коріння отриманого квадратного тричлена легко знаходяться через дискримінант.
1.3 Формула Кардано
У загальному випадку, коріння кубічного рівняння знаходяться за формулою Кардано.
Для кубічного рівняння (1) знаходяться значення за допомогою підстановки: x=(2), і рівняння приводиться до виду:
неповне кубічне рівняння, в якому буде відсутня доданок містить другий ступінь.
Вважаємо, що рівняння має коефіцієнтами комплексні числа. Дане рівняння, завжди буде мати комплексні корені.
Позначимо один з таких коренів:. Введемо допоміжну невідому u і розглянемо многочлен f (u) =.
Позначимо корені цього многочлена через? і?, по теоремі Віетті (див. стор 8):
? +?=(4)
??=- (5)
Підставами в рівняння (3), вираз (4), отримуємо:
(? +? + p (? +?) +=0
З (5): 3
(6)
C іншого боку з (5): (7)
Звідси випливає, т.е з формул (6), (7), що числа є корінням рівняння:
З останнього рівняння:
Два інших кореня,,, знаходяться за формулою:
1.4 Тригономе...
