трична формула Вієта
Ця формула знаходить рішення наведеного кубічного рівняння, тобто рівняння виду
Очевидно, що будь-яке кубічне рівняння можна привести до рівняння виду (4), просто поділивши його на коефіцієнт a. Отже, алгоритм застосування цієї формули:
. Обчислюємо
2. Обчислюємо
3. а) Якщо, то обчислюємо
І наше рівняння має 3 кореня (речових):
б) Якщо, то замінимо тригонометричні функції гіперболічними.
Обчислюємо
Тоді єдиний корінь (речовий):
Уявні коріння:
де:
- знак
В) Якщо, то рівняння має менше трьох різних рішень:
2. Рішення задач
Приклад 1. Знайти дійсні корені кубічного рівняння
Рішення:
Застосовуємо формулу скороченого множення різниця кубів:
З першої дужки знаходимо, квадратний тричлен у другій скобці не має дійсних коренів, так як дискримінант від'ємний.
Відповідь:
Приклад 2. Розв'язати рівняння
Рішення:
Це рівняння возвратное. Проведемо угруповання:
є коренем рівняння. Знаходимо корені квадратного тричлена
Приклад 3. Знайти коріння кубічного рівняння
Рішення:
Перетворимо рівняння до наведеного: домножимо на обидві частини і проведемо заміну змінної.
Вільний член дорівнює 36. Запишемо всі його подільники:
Підставляємо їх по черзі в рівність до отримання тотожності:
Таким чином, є коренем. Йому відповідає
Розділимо на, використовуючи схему Горнера.
Коефіцієнти многочлена2-11129-0.52-11 +2 * (- 0.5)=- 1212-12 * (- 0.5)=189 +18 * (- 0.5)=0
Отримуємо
Знайдемо корені квадратного тричлена:
Очевидно, що, тобто його кратним коренем є.
Відповідь:.
Приклад 4.Найті дійсні корені рівняння
Рішення:
є коренем рівняння. Знайдемо корені квадратного тричлена.
Так як дискримінант менше нуля, то дійсних коренів тричлен не має.
Відповідь:
Приклад 5. Знайти коріння кубічного рівняння 2.
Рішення:
Маємо.
Знаходимо
Отже,
Підставляємо у формулу Кардано:
приймає три значення. Запишемо їх.
При маємо
При маємо
При маємо
Розіб'ємо ці значення по парам, які у творі дають
Перша пара значень і
Друга пара значень і
Третя пара значень і
Повертаємося до формули Кардано
Таким чином,
Висновок
кубічний рівняння тричлен
В результаті виконання курсової роботи були досліджені різні методи розв'язання рівнянь третього ступеня, такі, як метод перебору, формула Карано, формула Вієта, методи вирішення зворотних, двочленних рівнянь.
Список використаних джерел
1) Бронштейн...
