адача відшукання інтегральніх поверхонь максимально можлівої вімірності k=n - 1.
Вінікає Завдання про знаходження сімейства поверхонь U (x, y, z)=c, ортогональних до векторних ліній. Рівняння таких поверхонь має вигляд (F t)=0. Де t - віктор, что лежить в дотічній площіні до Шуканов поверхонь:
t=i dx + j dy + k dz,
бо в Розгорнутим вігляді
Р (х, у, z) dx + Q (x, у, z) dy + R (x, у, z) dz=0. (3)
Рівняння вигляд (3) назіваються рівняннямі Пфаффа.
Если поле F=Pi + Qj + Rk потенційне:
F=grad U, тоб
то Шуканов поверхнями є поверхні уровня U (x, y, z)=c з потенційною Функції U. В цьом випадка знаходження Шуканов поверхонь не стає труднощів, оскількі
де кріволінійній інтеграл береться на будь-якому шляху между вибраному | фіксованою точкою (x 0, y 0, z 0) i точкою Зі зміннімі координатами (х, у, z), Наприклад, по ламаній, что Складається з прямолінійніх відрізків, паралельних осях координат.
Если ж поле F НЕ потенційне, то в Деяк випадка можна підібраті Скалярним множнік ? (х, у, z), после множення на Який вектора F поле становится потенційнім.
Если такий множнік існує, то ? F=grad U або
Прімножуючі перше з ціх тотожня на R, друга на P, Третє на Q и складаючі почленно ВСІ три тотожності, отрімаємо необхідну умову Існування інтегруючого множніка ?:
Если ця Умова, яка назівається умів повної інтегровності рівняння (3), що не віконується, то чи не існує сімейства поверхонь U (x, y, z)=c, ортогональних векторна лініям поля F (x, у , z).
Дійсно, ЯКЩО б таке сімейство U (x, y, z)=c існувало, то ліва частина рівняння (3) могла б відрізнятіся від
позбав Деяк множніком ? (x, у, z), Який и БУВ бі інтегровнім множніком рівняння (3).
Отже, для Існування сімейства поверхонь U (x, y, z)=c, ортогональних векторна лініям векторного поля F, звітність,, щоб Вектори F и rot F були б ортогональні, тоб (F rot F) =0.
зауваження
Умова (F rot F)=0 назівається такоже умів інтегровності рівняння Пфаффа Р dx + Q dy + R dz=0 одним співвідношенням U (x, y, z)=c.
Іноді нужно візначіті НЕ поверхні, ортогональні векторна лініям поля F, а Лінії, что володіють тією ж властівістю, іншімі словами, треба проінтегруваті рівняння Пфаффа не одним, а двома співвідношеннямі:
U 1 (x, y, z)=0 та U 2 (x, y, z)=0. (4)
Для знаходження таких ліній можна Одне з рівнянь (4) Задати довільно, Наприклад
U 1 (x, y, z)=0, (5)
І, виключ з рівняння (3) с помощью рівняння (5) одну з змінніх, Наприклад z, отрімаємо діференціальне рівнянняння увазі
М (х, y) dx + N (x, y) dy=0,
інтегруючі Яке, Знайдемо шукані Лінії на довільно обраній поверхні U 1 (x, y, z)=0.
Покажемо, что Умова (F rot F)=0 є НЕ Тільки необхіднім, альо и достатнім для Існування сімейства поверхонь, ортогонально векторна лініям. ...
