Зауважімо, что на Шуканов поверхнях U (x, y, z)=c винне обертатіся в тотожність рівняння
Р dx + Q dy + R dz=0
або, что ті ж самє, на ціх поверхнях кріволінійній інтеграл
(6)
має дорівнюваті нулю по будь-якому шляху (в тому чіслі и по незамкнутого шляхам).
Розглянемо всілякі віхрові поверхні, тоб векторні поверхні поля rot F. Очевидно, что в силу теореми Стокса
де dr=i dx + j dy + k dz, и інтеграл (6) по будь-якому замкнутому шляху на Віхрова поверхні дорівнює нулю (так як скалярний добуток одінічного вектора нормалі до поверхні n и вектора rot F дорівнює нулю). Віберемо тепер среди Віхрова поверхонь ті, на якіх ВСІ інтегралі
по незамкнутого шляхах такоже равні нулю. Для побудова Такої поверхні, что проходити через завдання точку М (x 0, y 0, z 0), проведемо через Цю точку М якусь лінію, ортогональну векторна лініям поля F. Такі Лінії візначаються рівнянням
Р dx + Q dy + R dz=0, (3)
до Якого додано рівняння довільної поверхні z=f (x, у), что проходити через точку М (найчастіше рівняння цієї поповерхні беруть у вігляді z=f 1 (x) або z=f 2 (y ) або даже у вігляді z=a, де а - константа). Підставляючі z=f (x, у) в (3), отрімаємо звичайне рівняння виду
М (х, y) dx + N (x, y) dy=0,
інтегруючі Яке и ВРАХОВУЮЧИ початкова умову у (х 0)=у 0, отрімаємо Шуканов криву l, что проходити через точку М (x 0, y 0, z 0) i ортогональних векторна лініям (рис. 1).
Если ця лінія НЕ є лінією вихору, то, проводячі через кажном точку Лінії l лінію вихору, отрімаємо Шуканов поверхню S, ортогональну векторна лініям поля F.
Дійсно, взявши будь-яку незамкнену криву l на поверхні S (рис. 1) i провівші через ее граничні точки віхрові Лінії до Перетин з кривою l в точках р 1 і р 2, отрімаємо замкнутий контур, что Складається з відрізка Лінії l между точками р 1 і р 2, крівої l и двох Віхрова ліній.
Кріволінійній інтеграл. Взяти з цього замкнутого контуру С, дорівнює нулю, так як контур лежить на віхровій поверхні, причому тієї ж інтеграл, узятій на відрізку дуги l, и по відрізках Віхрова ліній дорівнює нулю, так як дуга l и віхрові Лінії ортогональні векторна лініях поля F ( віхрові Лінії ортогональні векторна лініях поля F чинності умови (F rot F)=0). Отже, інтеграл по довільно вибраному | нами незамкнутому шляху l дорівнює нулю, тоб поверхнею S є інтегральною поверхнею рівняння (3), что проходити через завдання точку М.
цею метод доказу достатності умови (F rot F)=0 для Існування сімейства поверхонь, ортогонально векторна лініям поля F, одночасно вказує шлях, правда не найкоротшій, для знаходження ціх поверхонь.
ПРИКЛАД 1
z dx + (x - y) dy + zy dz=0.
Умова (F rot F)=0, де F=zi + (x-y) j + yzk, що не віконується, отже, дане рівняння НЕ інтегрується одним співвідношенням.
ПРИКЛАД 2
(6x + yz) dx + (xz - 2у) dy + (ху + 2z) dz=0.F? 0, де F=(6x + yz) i + (xz - 2y) j + (xy + 2z) k, то F=grad U, де
.
