Для того щоб необхідно і достатньо, щоб.
Доказ:
.
Твердження 2.
має постійне напрямок.
Доказ:
вектор має постійний напрямок, отже,, де - const, тоді.
.
Нехай,
,,,,.
.
Затвердження 3.
паралельний постійної площині.
Доказ:
Нехай, - постійний вектор,,, отже, скалярний добуток векторів має дорівнювати нулю:
, продифференцируем і отримаємо, ще раз продифференцируем
- компланарні, тоді їх скалярний добуток дорівнює нулю.
Нехай - компланарні.
Нехай, тоді продифференцировав, отримаємо:
.
,
,
,
і, отже,, тоді вектор має постійне напрямок і паралельний площині?.
3. Теорія кривих
Безперервні відображення.
Визначення: Відображення називається безперервним, якщо нескінченно близьким точкам множини А відповідають нескінченно близькі точки безлічі В. (А і В - точкові множини.)
Визначення: гомеоморфізмом називається відображення, яке є біекція, f і f - 1 безупинні (топологічний відображення).
Визначення: А і В називаються гомеоморфними множинами (топологічно еквівалентними). ??
Важлива властивість: при гомеоморфізмом розмірність зберігається.
Визначення: Безліч точок простору, топологічно еквівалентна відрізку прямої, називається простою дугою.
Визначення: Образи кінців відрізка називаються кінцями дуги.
Визначення: Кривий називається рахункове безліч попарно склеєних між собою простих дуг.
Завдання кривої.
(1) - векторне рівняння кривої, якщо розписати за координатами отримаємо:
(2) - параметричне рівняння кривої.
Вибір точки на кривій містить одну ступінь свободи - він визначається вибором значення одного параметра t, який пробігає інтервал, наприклад, одиничний інтервал [0,1] на речовій числової осі. Точки кривої задаються їх радіус-векторами, компоненти яких x (t), y (t), z (t) є функціями параметра t.
Якщо розглянути інший спосіб завдання кривих: будь-яка точка тривимірного простору задається вибором трьох координат x, y, z. Розглянемо безліч точок, координати яких задовольняють функціонального рівняння F (x, y, z)=0, де F - деяка функція трьох змінних. У перетині двох поверхонь виходить крива. Це означає, що система двох рівнянь задає криву в тривимірному просторі.
- завдання кривої у вигляді перетину двох поверхонь.
Жоден з розглянутих способів завдання кривої не є кращим перед іншим. Залежно від ситуації використовується як той, так і інший.
Дотичний вектор.
при - нескінченно малий дотичний вектор.
При прагненні? t до нуля точка з параметром t +? t спрямується до точки з параметром t, і вектор займе своє граничне положення і стане дотичній до кривої в точці з параметром t. Тому граничне значення вектора - це дотичний вектор до кривої в точці з параметром t
Дотичний вектор визначає напрямок переміщення точки вздовж кривої для даного значення параметра t.
Рівняння дотичній.
Нехай пряма задається рівнянням:
,
