вжувати до нескінченності і, отже, якщо - власне значення, то - 2п теж - власне значення, де п-ціле число. Але якщо п робиться достатньо великим, то власне значення (і відповідно енергія) буде поступово ставати негативним, так як е пропорційно енергії. Але можна легко показати, що енергія гармонічного осцилятора завжди позитивна. Для середнього значення енергії Е маємо
(9)
Інтегрування першого інтеграла по частинах (зауважимо, що внеінтегральний член зникає, так як при) дає
(10)
Обидва інтеграла за визначенням позитивні, отже, Е> 0. Але для власної функції
(11)
оскільки передбачається, що нормована. Отже, всі власні значення і відповідно повинні бути позитивні.
Як можна уникнути це протиріччя? Тільки, якщо найнижча позитивне значення таке, що. У цьому випадку не можна отримати рішень з негативним. Множачи останнє рівняння на оператор, маємо
(12)
З виразу (12) видно, що щонайнижчим значенням має бути. Тоді допустимими значеннями будуть тільки значення, де п - ціле число. Тому власні значення е будуть
(13)
а власні значення Е будуть
(14)
Отже, ми довели, що власні значення гармонійного осцилятора точно рівні власним значенням, отриманим за допомогою наближення, навіть з точністю до напівцілого квантування енергії.
Завдання 1. Пояснити, чому наінісшее стан осцилятора не може володіти нульовою енергією.
Рішення для хвильових функцій. Можна легко знайти хвильову функцію наїнізшего стану. Рівняння для її визначення має вигляд
або (15)
Його рішенням
. (16)
де А постійна. Щоб унормувати хвильову функцію, треба вибрати А рівним. Таким чином, хвильова функція наїнізшего стану є просто гауссовской функцією помилок.
Всі інші хвильові функції можуть бути отримані з функції. Для цього спочатку запишемо рівняння Шредінгера в наступному вигляді:
(17)
Множення зліва на оператор дає
(18)
(19)
Ми бачимо, що функція задовольняє рівнянню Шредінгера, але відповідає власному значенню. (Зауважимо, що, де п - квантове число.) Отже, якщо ми маємо якусь власну функцію то, подіяв на неї оператором завжди можна побудувати наступну, більш високу власну функцію. Таким чином, з можна отримати всі власні функції; n-я власна функція буде
(20)
де Сп - нормувальний фактор.
Виконуючи ці операції, ми отримаємо кілька перших власних функцій
(21)
(22)
(23)
Поліноми Ерміта - Чебишева. [5] У загальному випадку функція дорівнює добутку на поліном n-го ступеня. Таким чином, можна написати
(24)
