align="justify"> Загальне рішення звичайного диференціального рівняння n-го порядку містить n довільних постійних c1, c2, ..., cn
y=j (c1, c2, ..., cn) (6.3)
Приватне рішення диференціального рівняння виходить із загального, якщо довільним постійним надати певні значення.
Для рівняння першого порядку спільне рішення залежить від однієї довільної сталої:
y=j (x, c). (6.4)
Якщо постійна приймає певне значення з=с0, то отримаємо приватне рішення: y=j (x, c0).
Дамо геометричну інтерпретацію диференціального рівняння першого порядку (6.2).
Оскільки похідна y? характеризує нахил дотичної k інтегральної кривої в даній точці, то при y? =K=const з (6.2) отримаємо f (x, y)=k - рівняння лінії постійного нахилу, званої ізокліни. Міняючи k, отримуємо сімейство ізоклін.
Наведемо геометричну інтерпретацію спільного рішення (6.4). Це рішення описує нескінченна безліч інтегральних кривих з параметром c, а приватному рішенням відповідає одна крива з цього сімейства. Через кожну точку з області рішення проходить одна інтегральна крива.
Для виділення деякого приватного рішення рівняння першого порядку досить задати координати (x0, y0) довільної точки на даній інтегральної кривої.
Для рівнянь вищих порядків для виділення приватного рішення із загального потрібно задавати стільки додаткових умов, скільки довільних постійних загалом рішенні, тобто який порядок рівняння.
Якщо ці умови задаються в одній точці, то таке завдання називається задачею Коші. Додаткові умови в задачі Коші називаються початковими умовами х=x0, в якій вони задаються, - початковою точкою.
Якщо ж додаткові умови задаються при різних значеннях незалежної змінної, то таке завдання називається крайової. Самі додаткові умови називаються граничними умовами.
Найбільш поширеним і універсальним чисельним методом рішення диференціальних рівнянь є метод кінцевих різниць. Його суть полягає в наступному. Область безперервної зміни аргументу, замінюється дискретним безліччю точок, які називаються вузлами, і завдання вважається вирішеним, якщо знайдені невідомі значення функції в цих точках. Чисельні методи рішення диференціальних рівнянь методом кінцевих різниць проводяться в два етапи:
Апроксимація диференціального рівняння системою лінійних і нелінійних різницевих рівнянь;
Рішення отриманої системи різницевих рівнянь.
Різницеві методи дозволяють знаходити тільки конкретне (приватне) рішення, однак необхідно підкреслити, що ці методи в даний час є основними при вирішенні диференціальних рівнянь за допомогою ЕОМ.
Одним з найпростіших різницевих методів вирішення звичайного диференціального рівняння є однокроковий метод Ейлера.
Нехай потрібно вирішити задачу Коші для рівняння першого порядку:
y? =f (x, y), y (x0)=y0 (6.5)
на відрізку [а, b].
На даному відрізку вибираємо деяку сукупність вузлових точок a=x0 lt; x1 lt; x2 lt;... lt; xn=b і розкладемо шукану функцію y (x) в ряд Тейлора в їх околицях.
6.1 Метод Ейлера
Якщо відкинути всі члени, що містять похідні другого і більш високих порядків, і вважати вузли равностоящими, тобто D xi=xi + 1-xi=h, то це розкладання можна записати у вигляді:
y (xi + 1)=yi + 1=yi + hf (xi, yi), i=0,1, ..., n - 1. (6.6)
Співвідношення (6.6) мають вигляд рекурентних формул, за допомогою яких значення сіткової функції yi + 1 в будь-якому вузлі xi + 1 обчислюється за її значенням yi в попередньому вузлі xi. На кожному кроці похибка має порядок O (h2). На рис. 6.1 дана геометрична інтерпретація методу Ейлера. В силу невисокої точності формулою Ейлера рідко користуються в практичних розрахунках і використовують більш точні методи. Наприклад, модифікований метод Ейлера.
y
y2
y0
y1
x0 x1 x2 x
Рис. 6.1. Метод Ейлера.
Приклад: Вирішити задачу Коші методом Ейлера для диференціального рівняння
y? =x2 + y, y (0)=1 на відрізку [0; 0,3] з кроком 0,1.
Рішення: За формулою (6.6) обчислимо значення y1
y1=y0 + hf (x0, y0)=1 +0,1 (02 +1)=1,1
Аналогічно обчислюються наступні значенн...
