что программа з математики загальноосвітньої школі не предполагает формирование в учнів умінь розв'язувати задачі з параметрами, реалії сьогодення (обовязкове ЗНО) діктують необходимость Ознайомлення учнів Із завданнями з параметрами та методами їх розв'язування.
Если в Рівняння (нерівність, систему рівнянь, систему нерівностей) крім невідоміх величин, входять числа, что позначені буквами, Які НЕ вказані, но вважаються відомімі та завдань на деякій чісловій множіні, то смороду назіваються параметрами.
Если в Рівняння (нерівність, систему рівнянь, систему нерівностей) містіть параметр і треба найти его корені (розвязки) залежних від параметра, то таке Завдання відносять до завдань Із параметрами.
Існують Завдання, в якіх треба найти всі значення параметра, при якіх корені Рівняння (розвязки нерівності або системи) задовольняють Певнев умову. Такі Завдання теж вважають завданнями з параметрами. У Деяк посібніках ЦІ задачі ще назівають Дослідницькі задачі з параметрами .
розвязати Рівняння (нерівність, систему рівнянь, систему нерівностей) з параметрами означає найти всі розвязки для кожної системи допустимих значень параметрів.
Во время розв язування задач Із параметрами область Зміни параметрів может буті завданні. Якщо не вказані Межі Зміни параметрів, то вважається, что параметри набуваються усіх своих допустимих значень.
. Основні види рівнянь з параметрами та методи їх розв'язування
Універсального методу розв язування задач Із параметрами не існує.
Часто корістуються аналітічнім (із використанн формул, властівостей функцій) та графічнімі методами.
Приклад. Знайдіть усі дійсна значення параметра а, при якіх система рівнянь
Рівняння параметр пропорційність завдання
має Рівно три розв язки.
розв язання
способ 1 (аналітичний)
(1)
Система (1) рівносільна сукупності систем рівнянь:
розв яжемо Першу систему сукупності.
Оскількі Рівняння системи (2) не містять параметра, то при будь-якіх значеннях а система (1) має дві розв язки. Система (1) матіме Рівно три розв язки, если система (3) матіме Рівно одна розв язок або если одна Із розв язків системи (3) такий самий, як розв язок системи (2). А це можливо при
здобутя система має одне розв язок, если Рівняння матіме одна корінь.
Отже, , звідки. Во время знаходження значень параметрів a, при якіх система (3) має одне розв язок, можна скористати геометричність міркуваннямі. На коордінатній площіні ХОУ побудуємо графіки рівнянь системи (3) (рис.1).
Рис. 1
Коло и пряма мают одну спільну точку, если пряма є дотичність до кола. Зрозуміло, что пряма буде дотичності до кола з центром (0; 0) i радіусом R=1 при.
способ 2 (графічний)
На коордінатній площіні х0а побудуємо графіки Рівняння - коло з центром (0; 0) i радіусом 1 та графік Функції - кут Із верховіттям у качана координат, его сторону - бісектрісі Першого та іншого координатно кутів.
Розташування прямої, что задовольняє умову, может буті таким, як на малюнку 2, звідки або.
Рис. 2
Відповідь. При.
наведення приклад демонструє предпочтение использование графічного методу над аналітічнім во время знаходження кількості розв язків залежних від параметра.
Графічний метод розв язування задач Із параметрами.
Дістаті вічерпну інформацію про Кожний Із параметрів на проміжку (во время розв язування рівнянь Із параметрами можна, вікорістовуючі графічний метод ( Метод Оха ).
На графіку видно, при якіх значеннях параметрів Рівняння має корені (і скільки), при якіх - НЕ має.
Метод графічного розв язування рівнянь з параметрами складається з таких етапів:
Знаходімо область допустимих значень невідомого и параметрів, что входять до Рівняння (область визначення Рівняння).
Віражаємо параметр а як функцію від х.
У сістемі координат х0а будуємо графік Функції для тихий значень х, Які входять в область визначення Рівняння.
Знаходімо точки Перетин прямої, де з Належить проміжку з графіком. Можливі випадки:
прямо не перетінає графік Функції. При цьом значення a Рівняння коренів НЕ має;
