ачення. Крім того, різноманіття функцій, пропоноване такою розрахунковою і графічною програмою, не повинно ускладнювати роботу користувача. Програми для Windows створюють для цього ідеальні передумови. p> Останнім часом багато якраз перейшли на використання Windows як свою користувача середовища. Як наслідок, багато фірм, що створюють програмне забезпечення, почали пропонувати велику кількість програм для Windows. p> Visual Basic .
Microsoft Visual Basic - це потужна система програмування, що дозволяє швидко і ефективно створювати додатки для Microsoft Windows. На відміну від Excel і MathCAD це найбільш зручна програма для вирішення систем лінійних рівнянь. Простий користувальницький інтерфейс, що дозволяє легко переключатися з проекту форми на сам код програми. <В
Зручне вікно для коду самої програми:
В
Чисельні методи.
Розв'язність системи лінійних рівнянь.
Коли ми говоримо про головну матриці системи лінійних рівнянь, то завжди маємо на увазі квадратну матрицю n Г— n, тобто матрицю з однаковою кількістю рядків та стовпців. Це важливо.
Якщо, наприклад, кількість рядків (кількість рівнянь в системі) буде менше, ніж кількість стовпців (фактично, кількості невідомих), то система буде невизначеною, тобто ми не зможемо однозначно визначити всі невідомі (вирішити систему).
Але це не єдине обмеження. З векторної алгебри відомо, що система лінійних рівнянь має рішення (однозначне) тоді і тільки тоді, коли її головний визначник не дорівнює нулю: О” в‰ 0.
Розглянемо випадок, коли визначник системи дорівнює нулю. Тут можливі два варіанти:
1. О” = 0 і кожен з додаткових визначників О”x i = 0. Це має місце тільки тоді, коли коефіцієнти при невідомих x i пропорційні, тобто кожне рівняння системи виходить з першого рівняння множенням обох його частин на число k. При цьому система має незліченну безліч рішень.
2. О” = 0 і принаймні один додатковий визначник О”x i в‰ 0. Це має місце тільки тоді, коли коефіцієнти при всіх невідомих x i , пропорційні. При цьому виходить система із суперечливих рівнянь, яка не має рішень.
Матричний метод рішення систем лінійних рівнянь.
Нехай дана система лінійних рівнянь:
В
Розглянемо матрицю, складену з коефіцієнтів при невідомих:
В
Вільні члени і невідомі можна записати у вигляді матриці стовпців:
В
Тоді, використовуючи правило множення матриць, цю систему рівнянь можна записати так:
В
або
A В· x = b. (1)
Рівність (1) називається матричним рівнянням або системою рівнянь в матричному вигляді.
Матриця А коефіцієнтів при невідомих називається головною матрицею системи.
Іноді розглядають також розширену матрицю системи, тобто головну матрицю системи, доповнену стовпцем вільних членів, яку записують у наступному вигляді:
В
Будь-яку лінійну систему рівнянь можна записати в матричному вигляді. Наприклад, нехай дана система:
В
Ця система з двох рівнянь з трьома невідомими - x, y,. У вищій математиці можна розглядати системи з дуже великого числа рівнянь з великою кількістю невідомих і тому невідомі прийнято позначати тільки буквою х, але з індексами:
В
Запишемо цю систему в матричному вигляді:
В
Тут головна матриця системи:
В
Розширена матриця буде мати вигляд:
В
Розв'язки матричних рівнянь.
Матричні рівняння вирішуються за допомогою зворотних матриць. Рівняння вирішується таким чином. Нехай матриця А - невироджена (D в‰ 0), тоді існує зворотна матриця А-1. Помноживши на неї обидві частини матричного рівняння, маємо А-1 (АХ) = А-1В. Використовуючи сполучний закон множення, перепишемо це рівність у вигляді
(А-1А) Х = А-1В.
Оскільки А-1 А = Е і ЕХ = Х, знаходимо:
Х = А-1В.
Таким чином, щоб вирішити матричне рівняння, потрібно:
1. Знайти зворотну матрицю А-1. p> 2. Знайти твір зворотної матриці А-1 на матрицю стовпець вільних членів В, т. е А-1В.
Користуючись визначенням рівних матриць, записати відповідь.
При цьому власне знаходження зворотної матриці - процес досить трудомісткий і його програмування навряд чи можна назвати елементарним завданням. Тому на практиці частіше застосовують чисельні методи розв'язання систем лінійних рівнянь.
До чисельних методам вирішення систем лінійних рівнянь відносять такі як: метод Гаусса, метод Крамера, ітеративні методи. У методі Гаусса, наприклад, працюють над розширеної матрицею системи. А в методі Крамера - з визначниками системи, утвореними за спеціальним правилом.
Метод Крамера.
При вирішенні систем лінійних рівнянь за методом Крамера послідовно виконується наступний алгоритм:
1. Записують систему в матричному вигляді (якщо це ще ...
