ми місць В».
Застосувавши таке перетворення до рівняння (1), отримаємо рівняння
х 4 + 4x 3 - 19хх - 106x - 120 = 0, (2)
має один позитивний корінь 5 і три негативних: -2, -3, -4.
Можна, не знаючи коренів рівняння, збільшити або зменшити їх на яку величину, для чого необхідно зробити відповідну заміну. Наприклад, рівняння (2) після заміни х = у - 3 перетвориться до виду y 3 - 8у 2 - у + 8 == 0; його позитивний корінь 8 перевищує позитивний корінь рівняння (2) на 3. p> Декарт зауважив, що, В«збільшуючи справжні корені, ми зменшуємо помилкові і навпаки В», при цьому він мав на увазі абсолютні величини коренів.
Правило виключення другого члена рівняння, відоме ще Вієта, Декарт ілюстрував прикладами. p> Так, рівняння y 4 + 16y 3 + 71y 2 - 4y -120 = 0 підстановкою z - 4 = у він зводив до
z 4 - 25z 2 - 60z - 36 = 0; його коріння -3, -2, -1, 6.
Другий член рівняння x 4 - 2ах 3 + х 2 (2а 2 - з 2 ) - 2a з x + А 4 = 0 він виключав підстановкою х = z + a його до виду z 4 + z 2 (a 2 - c 2 ) - z (a 3 + ac 2 ) + a 4 - a 2 c 2 = 0.
Декарт говорив, що можна також В«зробити, щоб всі помилкові корені рівняння стали істинними, але справжні не стали помилковими В». Він стверджував, що легко приблизно оцінити величину невідомих негативних коренів рівняння. У цьому можна угледіти постановку питання про кордони дійсних коренів рівняння, якому згодом приділив велику увагу Ньютон.
Для множення і ділення невідомих коренів рівняння на число, приведення дрібних і ірраціональних коефіцієнтів до цілим Декарт користувався тими ж підстановками, які були відомі і Вієта. Рассмот рим приклад.
Якщо покласти у = х і z = 3у, то рівняння
x 3 - x 2 + x - = 0
перетворюється послідовно в рівняння
y 3 - 3y 2 + y - = 0, а потім у z 3 - 9z 2 + 26z - 24 = 0. p> Коріння остаточного рівняння 2, 3, 4; попереднього -, 1,; першого -,,.
Про В«уявнихВ» (удаваних) коренях рівняння Декарт писав: В«Як справжні, так і помилкові коріння не завжди бувають дійсними, опиняючись іноді лише уявними. Іншими словами, хоча завжди можна уявити собі у кожного рівняння стільки коренів, скільки я сказав, але іноді не існує ні однієї величини, яка відповідає цим уявним коріння. Так, наприклад, хоча у рівняння х 3 - 6xx + 13x -10 = 0 можна уявити собі три кореня, але насправді воно має тільки один дійсний, саме 2. Що стосується двох інших коренів, то скільки б їх не збільшувати, зменшувати або множити так, як я тільки що пояснив, все одно їх не вдасться зробити іншими, ніж уявними...
