ня (позитивних - В«істиннихВ», негативних - В«помилковихВ» і уявних - В«уявнихВ») дорівнює числу одиниць у найвищому показнику ступеня що входить у рівняння невідомої величини. Справедливість теореми він аргументував тим, що при перемножуванні n двучленного виду х - а виходить багаточлен ступеня n. Відсутні В«УявніВ» коріння, природу яких Декарт не пояснює, можна прімисліть. p> Якщо всі корені позитивні, то, за словами Декарта, справа йде так: В«Знайте, що всяке рівняння може мати стільки ж різних коренів або ж значень невідомої величини, скільки остання має вимірювань; бо якщо, наприклад, прийняти х рівним 2, або ж х - 2 рівним нічому, а також х = 3 або ж х - 3 = 0, то, перемноживши обидва ці рівняння x - 2 = 0 і x - 3 = 0, ми отримаємо хх - 5х + 6 = 0, або ж хх = 5x - 6, рівняння, в якому величина х має значення 2 і разом з тим значення 3.
Якщо прийняти ще, що х - 4 = 0 і помножити це вираз на хх - 5x + 6 = 0, то ми отримаємо х 3 - 9хх + 2бх - 24 = 0, інше рівняння, в якому х, володіючи трьома вимірами, має разом з тим три значення, а саме 2, 3 і 4 В»
Якщо ж В«х висловлює собою також недолік небудь величини, скажімо 5, то ми отримаємо х + 5 = 0 В». Помноживши х + 5 на ліву частину попереднього рівняння і прирівнявши результат нулю, отримаємо
x 4 - 4x 3 - 19xx + 10бх - 120 = 0, (1)
В«рівняння, у якого чотири кореня, саме три істинних 2, 3, 4 і один помилковий -5 В».
Побудова лівій частині рівняння у вигляді добутку двучленного призводить до того, що ступінь рівняння можна понизити, розділивши ліву частина його на х - a, де а - корінь рівняння. З іншого боку, якщо такий розподіл неможливо, то число а не буде коренем рівняння. Ліву частину рівняння (1), наприклад, можна розділити на х - 2, х - +3, х - 4, х + 5 і не можна поділити на будь-який інший двочлен х - а; В«це показує, що воно може мати лише чотири кореня: 2, 3, 4 і -5 В».
Декарт сформулював правило знаків, що дає можливість встановити число позитивних і негативних коренів рівняння: В«Справжніх коренів може бути стільки, скільки разів у ньому змінюються знаки + і -, а помилкових стільки, скільки разів зустрічаються підряд два знака + або два знаки - В». Згодом він вніс уточнення: за наявності уявних (В«неможливихВ») коренів рівняння число позитивних коренів може (а не повинно) бути рівним числу змін знаків. Декарт висловив правила і на прикладах показав, які слід виконувати перетворення, щоб змінити знаки коренів рівняння, збільшити або зменшити коріння, отримати рівняння, що не містить другого члена, і т. д. В«Легко, далі, зробити так, щоб всі корені одного і того ж рівняння, колишні помилковими, стали істинними, і разом з тим всі колишні істинними стали помилковими; саме це можна зробити, змінивши на зворотні всі знаки + або -, стоять на другому, четвертому, шостому та інших, позначених парними місцях, не змінюючи знаки першого, третього, п'ятого і їм подібних, позначених непарними числа...
