> n
1 і < b> n
2 -
довільні цілі числа . Тоді
b 2 + c 2 = (2 n 1 + 1) 2 + (2 n 2 + 1) 2 = 2 [2 (n 1 2 + n 2 2 + n 1 + n 2 ) + 1],
де у квадратних дужках непарне число , що й потрібно було довести
*******
Тоді з рівняння (2) слід (з урахуванням (3) і (4)):
= , Де c 2 + b 2 в‰ 0, тому c в‰ 0 , b в‰ 0, тобто p> (5), br/>
де k - ціле число , відмінне від нуля , тому що c і b взаємно прості цілі числа.
Зі співвідношень (4) і (5 ) визначаємо b 2 і c 2 :
=> => br/>
Звідки ОІ = b 2 + 2 l -2 k (8) - непарне число (з (4)) при b - непарному і - парному , тому що ≥ 3 - Непарне натуральне число.
Висновок:
1. Зі співвідношення (4) маємо:
(9) - непарне число.
2. Зі співвідношення (5) маємо:
(10) пропорційно 2 (явно), тобто - парне число .
Це додаткова інформація про властивості передбачуваних взаємно простих числах , яка надалі нам дуже знадобиться.
*******
Тепер спробуємо висловити суму четвертих ступенів чисел c і. Враховуючи співвідношення (6) і (7), отримаємо:
,
тобто (11),
де - цілі числа , які, у свою чергу, як ми знаємо з попереднього докази В«Твердження 1В» (для), можуть бути виражені через інші цілі числа таким чином:
(12) - непарне число при - непарному ;
(13) - непарне число при - непарному ;
(14) - непарне число при - непарному ;
(15) - парне число .
Примітка: у всіх наступних дослідженнях (Випадках) нас не цікавитимуть t = 0 і r = 0 (при t = 0 і - парні з (12) і (13), при r = 0 = 0 (з (15)) = > а = 0 (з (3)), що суперечить нашому допущенню). p> Для простоти знову ( як у твердженнях 1 і 2 ) позначимо праві частини рівнянь (12), ..., (15) літерами С, В, N, К, т.е .
= З
= В
= N
= К,
і розглянемо з Випадок , коли в правих частинах рівнянь (12), ..., (15) перед С, В, N, К, стоять В«ПлюсиВ» і виконується условіе1.
условіе1 (початок).
з 2 = З
b 2 = B
= N
В
Випадок В«+В».
(12 +) - непарне число при - непарному ;
(13 +) - непарне число при - непарному ;
(14 +) - непарне число при - непарному ;
(15 +) - парне число .
Здавалося б, все нормально: парність чисел в (12 +), ..., (15 +) збігаються при -непарному з нашими попередніми міркуваннями. p> Однак не все так просто. p> Крім усього іншого, у нас є ще дві додаткові інформації (9) і (10) (про парність , укладеної в В«ВисновкуВ» ( стор.36 )), що випливають з припущення про те, що, всупереч умові В«Твердження 2В» , допустимо, існують попарно взаємно прості цілі числа.
Спробуємо знайти суму, скориставшись їх виразами (12 +) і (13 +):
,
тобто => () пропорційно 4, звідки слід, з огляду (9) в В«ВисновкуВ» (стор.36),
! br/>
Т.е ., всупереч В«ВисновкуВ», є не непарних, а парним числом , що можливо (з (14)) при - парному . p> Однак, якщо - парне, то (у (12 +) і (13 +)) є парними , тобто в рівняннях (2) і (1) числа - Пар...
