рону осі Oz. Таким чином досліджувана поверхню параболоїд обертання:
В
Рис. 18
Задача 3.
Показати, що рівняння:
В
Визначає однопорожнинний гіперболоїд обертання навколо осі Oy.
Рішення. Розглянемо перетин даної поверхні площинами y = h перпендикулярними осі Оу. У перетині отримаємо лінію:
, де
Таким чином, в будь-якому перетині, перпендикулярному осі Оу, виходить коло радіуса R, тобто дана поверхня є поверхня обертання навколо осі Оу. З'ясуємо, обертанням якої лінії отримана ця поверхню. Перетнемо поверхню небудь площиною, що проходить через вісь обертання, наприклад площиною хОу, в перетині вийде лінія:
В
Ця є гіпербола з півосями а, b. Обертаючись навколо осі Оу, вона і утворює дану поверхню, яка є тому однополостного гіперболоїдом обертання навколо осі Оу. br/>В
Рис. 19
Задача 4.
Знайти точки перетину еліпсоїда
В
з прямою
при
при якому значенні а пряма стосується еліпсоїда?
Рішення. Запишемо параметричні рівняння даної прямої:
x = 1; y = 1 + t; z = a * t.
Підставляючи значення x, y, z в рівняння еліпсоїда:
В
отримаємо квадратне рівняння для t:
В
з якого знаходимо значення параметра t, що відповідають точкам перетину прямої з еліпсоїдом:
В
при вийдуть два значення:
В
отже точки перетину наступні:
В В В В
Якщо пряма стосується еліпсоїда, то має бути, а це відбудеться в тому випадку, якщо подкоренное вираз дорівнює нулю.
Значить при пряма є дотичною.
Задача 5.
Дослідити перетину еліпсоїда
В
Площинами
В
Рішення. Розглянемо спочатку перетин еліпсоїда площинами z = h, де
В
Підставляючи в рівняння еліпсоїда отримаємо:
В
Звідси
.
Вводячи позначення
і
бачимо, що в перерізі вийде еліпс
В
З півосями. При отримуємо
В В
Таким чином, найбільший виходить в перетині площиною хОу. Якщо піднімати чи опускати цю площину вздовж осі Oz паралельно площині xOy, то розміри перерізів зменшуються до тих пір, поки при z = 3 z = -3 не перетворяться в точку (0,0,3) або (0, 0, -3) . При подальшому збільшенні h площину еліпсоїда перетинати вже не буде, так як корінь, що входить у вирази для стане уявним. p align="justify"> У перетині площинами, паралельними xOz і yOz, будуть також виходити еліпси. Зокрема, в перетині координатними площинами y = 0 і x = 0 вийдуть найбільші за розмірами еліпси:
В
Проведене дослідження дозволяє зробити висновок, що еліпсоїд є овальної поверхнею:
В
Рис. 20
Задача 6.
Яку поверхню виз...
