з нашим припущенням про існування у рівняння
(1) попарно взаємно простих цілих рішень.
*******
У решти 14 В«ПодібніВ» випадках, де знову ж = В± N = В± () і перед С, В, N, К стоять всілякі знаки (плюси і мінуси), розмірковуючи аналогічним способом (і при цьому не зачіпаючи В«нові властивостіВ» ( пояснення (стор.10), подібне для проведено при доказі Твердження 1 ), ми прийдемо до колишнього результату: c і b - парні, чого не повинно бути .
Це означає, що ми знову прийдемо до протиріччя з нашим припущенням про існування у рівняння (1) попарно взаємно простих цілих рішень. br/>
********
В
Висновок. Отже, це рівняння (1) у даному Умові 3 не має рішень в цілих попарно взаємно простих відмінних від нуля числах.
*******
Висновок
1. Таким чином , в вишерассмотренних Умовах 1 (початок), 2 (початок) і 3 рівняння (1) (1), де ≥ 3 - непарне натуральне число, не має рішень в цілих попарно взаємно простих відмінних від нуля числах.
2. 1-а частина В«Утвержденія3В» ( для Умов 1 (початок), 2 (початок) і 3 ) доведена.
*********
Частина друга (Утвержденія3)
Можливі випадки: або, або.
(про В«виключенняВ» з загального правила)
Доказ
Здавалося б, ми повинні розглянути ще моменти в Умовах 1 і 2 , коли перед дужками в (12), ..., (15) коштують різні знаки (як при дока зання В«Твердження 2В» в частини 2). Інтуїція підказує, що е та процедура знову нас призведе до відомим значенням b і c : або (з ), Або (з), або b і c < i> - парні, чого не повинно бути , або b і c не є цілими числами (подібно доведенню частини 2 В«Твердження 2В»). p> Для підтвердження сказаного розглянемо докладно тільки частина Умови 1 . p> Отже, залишилося розглянути випадки, коли перед дужками стоять різні знаки .
Випадок 1.
(12)
(13 ')
(14)
(15), які також є рішеннями рівняння
(11) .
Тоді сума має вигляд:
В
Враховуючи (10) та (15), можна отримати різницю:
=> .
Висловимо з (17) і (16):
=> p> => . br/>
За умовою повинні бути взаємно простими цілими числами , тому їх загальний множник.
Т.ч., мають вигляд:
, , А їх сума. br/>
Т.к. з (4) c 2 + b 2 = 2 ОІ , то =>.
З (15) з урахуванням (20) висловимо:
, тобто . p> Т.ч.,,, тобто
В
,
вираження яких, з урахуванням (24), повністю збігаються з (6) і (7), тобто з рівняннями
В
Тепер, з урахуванням (13 ') і (14), знайдемо суму:
тому , Тобто . p> (Тут чергування В«ПлюсаВ» і В«мінусаВ» таке ж, як і у одиниці в (20 ). У наступних діях ми це врахуємо.)
Тепер, враховуючи (23), отримаємо значення для b 2 :
, т.к. з (20) виходить
(20 ').
Отже, (28), що для цілих чисел неприйнятно .
Цей випадок нас не цікавить.
********
Проте продовжимо, т.к. результат , який ми отримаємо, надалі нам стане в нагоді .
Враховуючи (26), отримаємо =>. p> Тепер, з урахуванням (29), можна отримати остаточне вираз для з 2 (з (25)):
, тобто . br/>
Таким чином, рівняння (11), рішеннями якого є (12), (13 ') , (14), (15), в кінцевому рахунку має наступні рішення:
,,
(28) , ,
де - взаємно прості непарні цілі числа.
*******
Випадок 2
Неважко здогадатися, що якби у рівняння (11) були б рішення, протилежні за знаком з рішенн...
