ння інтеграла з заданою точністю e . Потрібно, почавши обчислення з деякого значення кроку h , послідовно зменшувати це значення у два рази, кожен раз обчислюючи наближене значення I . Обчислення припиняються тоді, коли результати двох наступних обчислень будуть відрізнятися менше, ніж на e . В
Приклад 5.4.
Знайдемо значення інтеграла з точністю e = 10 -4 , використовуючи формулу трапецій і застосовуючи вищевикладену процедуру дроблення кроку . У прикладі 5.2 було отримано значення I при h 1 = 0.1, I h = 0.74621079. Зменшимо крок вдвічі: h 2 = 0.05 і обчислимо I = 0.74667084, e 2 = ( I - I ) = (0.74667084 - 0.74621079) В»1.5 Г— 10 -4 . Так як | e 2 |> e , то знову дробу крок: h 3 = 0.025, обчислюємо I = 0.74678581, e 2 = ( I-I ) = (0.74678581 - 0.74667084) В»4 Г— 10 -5 . Оскільки | e 3 | < e , необхідна точність досягнута і I В» 0.7468 В± 0.0001.
В
Тема 6. Чисельне рішення диференціальних рівнянь
6.1 Постановка задачі Коші
Відомо, що звичайне диференціальне рівняння першого порядку має вигляд:
y ' ( t ) = f ( t , y ( t )). (6.1)
Рішенням рівняння (6.1) є диференціюється функція y ( t ), яка при підстановці в рівняння (6.1) звертає його в тотожність. На рис. 6.1 наведено графік рішення диференціального рівняння (6.1). Графік рішення диференціального рівняння називається інтегральної кривої.
В В
Рис. 6.1
Похідну y ' ( t ) в кожній точці ( t, y ) можна геометрично інтерпретувати як тангенс кута a нахилу дотичної до графіка рішення, що проходить через цю точку, т е.: k = tg a = f ( t, y ) .
Рівняння (6.1) визначає ціле сімейство рішень. Щоб виділити одне рішення, задають початкове умова :
y ( t 0 ) = y 0 , (6.2)
де t 0 - Деяке задане значення аргументу t , а y 0 - початкове значення функції.
Задача Коші полягає в відшуканні функції y = y ( t ), що задовольняє рівнянню (6.1) і початковій умові (6.2). Зазвичай визначають рішення задачі Коші на відрізку, розташованому праворуч від початкового значення t 0 , тобто для t ГЋ [ t 0 , T ]. p> Розв'язність задачі Коші визначає наступна теорема.
В
Теорема 6.1. Нехай функція f ( t, y ) визначена і неперервна при t 0 ВЈ t ВЈ T, - ВҐ < y < ВҐ і задовольняє умові Ліпшиця:
| f ( t, y 1 ) - f ( t, y 2 ) | ВЈ L | y 1 - y 2 |,
де L деяка постійна, а y 1 , y 2 - довільні значення. p> Тоді для кожного початкового значення y 0 існує єдине рішення y ( t ) задачі Коші для t ГЋ [ t 0 , T ].
Навіть для простих диференціальних рівнянь першого порядку не завжди вдається отримати аналітичне рішення. Тому велике значення мають чисельні методи рішення. Чисельні методи дозволяють визначити наближені значення шуканого рішення y ( t ) на деякій обраної сітці значень аргументу t i , ( i = 0, 1, ...). Точки t i називаються вузлами сітки , а величина h i = t i +1 - t i - Кроком сітки. Часто розглядають рівномірні сітки , для яких крок h i постійний, h i = h =. При цьому рішення виходить у вигляді таблиці, в якій кожному вузлу сітки t i відповідають наближені значення функції y ( t ) у вузлах сітки y i В» Y ( t i ). p> Чисельні методи не дозволяють знайти рішення в загальному вигляді, зате вони застосовні до широкого класу диференціальних рівнянь.
Збіжність чисельних методів рішення задачі Коші. Нехай y ( t ) - рішення задачі Коші. Назвемо глобальної похибкою (або просто похибкою ) чисельного методу функцію e ...
