т. е. власні значення матриці A комплексні. Введемо позначення де b в‰ 0. br/>
Тоді матриця A перетвориться до виду:
=.
Будемо розглядати систему, відповідну матриці, тобто систему виду:
(3.3)
Спочатку розглянемо відповідну однорідну систему:
(3.4)
Загальне рішення цієї системи має вигляд:
В
де c, Оі - довільні постійні інтегрування.
Запишемо функцію H і застосуємо принцип максимуму.
В
де П€ 1 , П€ 2 визначаються системою, сполученої до системі (3.3), тобто системою види:
(3.5)
Загальне рішення цієї системи має вигляд:
В
де c ', Оі' - довільні постійні інтегрування. Т. е. функція H має вигляд:
В
Підставами у функцію H уявлення рішень x 1 , x 2 :
В
Т. к. власний вектор матриці A , що відповідає власному значенням l має вигляд q 1 в”Ђ iq 2 , де q 1 = (1; в”Ђ 1/2); q 2 = (0; в”Ђ).
Нехай q 1 і q 2 - базисні вектори нової косокутній системи координат y 1 , y 2 . Тоді перехід від системи y 1 , y 2 до системі x 1 , x 2 виражається формулами:
В
Тоді в нових координатах система рівнянь (3.2) запишеться у вигляді
В
або, інакше, у вигляді
В
де v = ( v 1 , v 2 ) в”Ђ керуюча точка, яка може змінюватися в межах багатогранника V , представляє собою відрізок [] осі y 2 .
Згідно теорії вершин e 1 = (0,), e 2 = (0,) багатогранника V відповідають точки h 1 = (1, -), h 2 = (-1,) (координати вказані в системі y 1 , y 2 ), а кожен з кутів < i> a 1 , a 2 , відповідних цим вершин, дорівнює p.
Тепер вже неважко побудувати синтез оптимальних управлінь у площині y 1 , y 2 . Шматками фазових траєкторій будуть дуги логарифмічних спіралей, т. к. у нас b = 1, тобто b> 0 (Рис. 18). p> При переході від координат y 1 , y 2 до координатам x 1 , x 2 картина синтезу афинно спотворюється.
Список використовуваної літератури:
1. В.Г. Болтянский. В«Математичні методи оптимального управлінняВ», М.: В«НаукаВ», 1968р.
2. Л.С. Понтрягин, В.Г. ...
