i = y ( t i ) - y i , задану в вузлах сітки t i . В якості абсолютної похибки приймемо величину R = | y ( t i ) - y i |
Чисельний метод розв'язання задачі Коші називається сходящимся , якщо для нього R В® 0 при h В® 0. Кажуть, що метод має p -ий порядок точності, якщо для похибки справедлива оцінка R ВЈ Ch p , p> 0, C - константа, C В№ 0.
6.2 Метод Ейлера
Найпростішим методом вирішення задачі Коші є метод Ейлера.
Будемо вирішувати задачу Коші
В
y ' ( t ) = F ( t, y ( t )). p> y ( t 0 ) = y 0 ,
на відрізку [ t 0 , T ]. Виберемо крок h =, і побудуємо сітку з системою вузлів
В
t i = t 0 + ih, i = 0, 1, ..., n.
У методі Ейлера обчислюються наближені значення функції y ( t ) у вузлах сітки: y i В» y ( t i ).
Замінивши похідну y ' ( t ) кінцевими різницями на відрізках [ t i , t i +1 ], i = 0, 1, ..., n - 1, отримаємо наближене рівність:
= f ( t i , y i ), i = 0, 1, ..., n - 1,
яке можна переписати так:
В
y i + 1 = y i + hf ( t i , y i ), i = 0, 1, ..., n - 1. (6.3)
Формули (6.3) і початкова умова (6.2) є розрахунковими формулами методу Ейлера.
Геометрична інтерпретація одного кроку методу Ейлера полягає в тому, що рішення на відрізку [ t i , t i +1 ] замінюється дотичній y = y ' ( t i ) ( t - t i ), проведеної у точці ( t i , y ( t i )) до інтегральної кривої, проходить через цю точку. Після виконання n кроків невідома інтегральна крива замінюється ламаною лінією ( ламаної Ейлера).
Оцінка похибки. Для оцінки похибки методу Ейлера скористаємося наступною теоремою.
В
Теорема 6.2. Нехай функція f задовольняє умовам:
ВЈ K, = ВЈ L. (6.4)
Тоді для методу Ейлера справедлива наступна оцінка похибки:
В
R = | Y ( t i ) - Y i | ВЈ =,
де l - Довжина відрізка [ t 0 , T ]. Ми бачимо, що метод Ейлера має перший порядок точності.
Про ценка похибки методу Ейлера часто буває скрутна, так як вимагає обчислення похідних функції f ( t, y ( t )). Грубу оцінку похибки дає правило Рунге (правило подвійного перерахунку) , яке використовується для різних однокрокових методів, що мають p -ий порядок точності. Правило Рунге полягає в наступному. Нехай y - наближення, отримані з кроком, а y - наближення, отримані з кроком h . Тоді справедливо наближене рівність:
| y-y ( t i ) | В»| y-y |. (6.5)
Таким чином, щоб оцінити похибку однокрокового методу з кроком, потрібно знайти те ж рішення з кроком h і обчислити величину, що стоїть праворуч у формулі (6.5), т е.
R В»| y-y | (6.6)
Так як метод Ейлера має перший порядок точності, тобто p = 1, то наближене рівність (6.6) прийме вигляд
В
R В»| y-y | (6.7)
Використовуючи правило Рунге, можна побудувати процедуру наближеного обчислення рішення задачі Коші із заданою точністю e . Потрібно, почавши обчислення з деякого значення кроку h , послідовно зменшувати це значення в два рази, кожен раз обчислюючи наближене значення y , i = 0, 1, ..., n. Обчислення припиняються тоді, коли буде виконана умова:
В
R В»| y-y | < e . (6.8)
Для методу Ейлера умова (6.8) прийме вигляд
R В»| y-y | < e (6.9)
Наближеним рішенням будуть значення y , i = 0, 1, ..., n.
Приклад 6.1.
Знайдемо рішення на відрізку [0, 1] наступної задачі Коші:
В
y ' ( t ) = Y -, (6.10)
y (0) = 1.
Візьмем...
