"center">
1.2 Рівняння руху Розглянемо руху нестискуваної в'язкої рідини з незмінними фізичними властивостями. Рівняння, що описують рух нестисливої ??в'язкої рідини, висловлюють збереження маси і кількості руху:
(2.1)
(2.2)
Тут - швидкість частинки, вимірювана в системі координат, що обертається з постійною кутовою швидкістю; представляють відповідно радіус-вектор частинки, час, тиск, щільність, кінематичну в'язкість і масову силу, віднесену до одиниці маси. Масова сила передбачається консервативної, так що її разом з відцентровою силою і Р можна записати у формі редуцированного тиску
(2.3)
Це спрощує рівняння (2.2)
(2.4)
Повна форма конвективного прискорення використовується частіше, ніж інваріантне векторне подання.
Рівняння руху в інерціальній системі координат виходять з попередніх рівнянь, якщо покласти в них. Формула
пов'язує між собою швидкості частинки в інерціальній і обертається системах.
На твердих непроникних поверхнях в'язка рідина повинна рухатися разом з цими поверхнями, так як ковзання уздовж них чи перехрещення їх неможливо. Якщо поверхня проникна, можна задати нормальну компоненту швидкості, але вимога відсутності ковзання або відносної тангенціальною швидкості залишається в силі. У загальному випадку гранична поверхня має частини, рівномірно обертаються з кутовою швидкістю. По відношенню до системи, що обертається зі швидкістю, гранична умова на такій поверхні є
(2.5)
Постановка завдання завершується описом початкового поля швидкості
(2.6)
Завдання, таким чином, полягає в тому, щоб вирішити рівняння (2.1) і (2.4) у фіксованій області з граничними умовами (2.5) і (2.6).
Нехай характеризують типову довжину, час і відносну швидкість руху частинки. Заміна змінних їх нормованими значеннями дозволяє привести рівняння до безрозмірного вигляду:
(2.7)
(2.8)
з відповідними граничними умовами. (Значок? Відзначає одиничний вектор.) При цьому з'являються два важливих безрозмірних параметра: число Екмана
(2.9)
і число Россби
(2.10)
Перший є грубою мірою відносини типовою сили в'язкості до сили Коріоліса і є, по суті, зворотне число Рейнольдса. Подібно цьому число Россби - відношення конвективного прискорення до прискорення Коріоліса - дає загальну оцінку відносного значення нелінійних членів. Число Екмана дуже мало в більшості тих випадків, коли переважно проявляються ефекти обертання. Практично величина 10 - 5 є для нього звичайною і в подальшому припущення Е lt; lt; 1 використовується без подальших застережень. Число Россби має порядок одиниці або менше; в лінійній теорії його значення приймається нескінченно малим.
Безрозмірне рівняння вихору під обертається системі є
(2.11)
Де (2.12)
Тривіальне рішення цих рівнянь,=0, відповідає, звичайно, нетривіальному станом твердого обертання, спостережуваному під обертається системі. У інерціальній системі відповідна розмірна швидкість є просто. Очевидно, що в'язка рідина, укладена в закритий рівномірно обертається посудину прагне з часом до цього природного стану жорсткого обертання.
1.3 Елементи теорії завихренности
Потрібно буде розрізняти абсолютний вихор, виміряний в інерціальній системі, і відносний вихор, виміряний в рівномірно обертається системі. Вони пов'язані співвідношенням
(3.1)
Таке ж відмінність встановлюється для циркуляції по замкнутому контуру
Деякий перетворення останнього інтеграла призводить до формі
(3.2)
Тут - проекція поверхні, обмеженої контуром L, на площину, перпендикулярну вектору;- Одиничний вектор, нормальний до.
Застосування теореми Стокса дає равносильное визначення циркуляції
(3.3)
завихрення в деякій точці пропорційна миттєвому кутовому моменту сферичного елемента рідини (жорсткого) в цій точці. Зрозуміло, миттєва кутова швидкість частинки є якраз. Лінія в рідині, всюди дотична до, називається вихровий лінією; вихрові лінії, що проходять через кожну точку малої замкнутої кривої, утворюють вихрову трубку. Якщо площа поперечного перерізу трубки мала, величина має одне і те ж значення повсюди уздовж трубки і називається її інтенсивністю. Це випливає з теореми про дивергенції
(3.4)
застосованої до обсягу вихровий трубки, укладеним між перетинами і. Згідно (3.3), цей результат рівносильний твердженням про те, що циркуляція по деякому контуру, оперізуючий бічну поверх...
