2. Складемо рівняння площини за формулою:
М1 (4; 5; - 3), М2 (- 2; 5; - 3), М3 (- 2; 1; - 1)
,
Розклавши визначник за елементами першого рядка, одержимо рівняння:
Після перетворень отримаємо рівняння площини:
. Складемо рівняння площини, яка проходить через точку М2 (1; - 1; 0) і паралельної площині, що проходить через точки М1 (4; 5; - 3), М3 (- 2; 1; - 1) і М4 (- 6; 5; 2).
Рівняння площини:
;
Розклавши визначник за елементами першого рядка, одержимо рівняння:
Після перетворень отримаємо рівняння площини:
Рівняння площини, що проходить через точку і має нормальний вектор, має вигляд:
Складемо рівняння площини, яка проходить через точку М2 (1; - 1; 0) з нормальним вектором площині..
Після перетворень отримаємо рівняння площини:
. Складемо рівняння площини, яка проходить через точки М2 (1; - 1; 0), М3 (- 2; 1; - 1) і перпендикулярної до площини, що проходить через точку М1 (4; 5; - 3), з нормальним вектором b (- 3; 6; - 4).
Запишемо рівняння площини
Складемо рівняння площині.
Підставами в це рівняння координати точок М2 (1; - 1; 0), М3 (- 2; 1; - 1) отримаємо:
Так як площина перпендикулярна до площини, то нормальні вектори цих площин також перпендикулярні.
, тобто , Звідки
Вирішимо систему рівнянь
Нехай С=1, тоді і, отже
Підставами координати точки М2 (1; - 1; 0) і вектора в рівняння
Після перетворень отримаємо рівняння площини:
5. Скласти канонічне рівняння прямої L 1, що проходить через точку М 3 (- 2; 1; - 1) з напрямним вектором c (3; 6; 2).
Рівняння прямої, що проходить через точку з напрямним вектором має вигляд:
Підставами координати і отримаємо
рівняння прямої L 1:
6. Скласти загальне рівняння прямої L2 в просторі, якщо вона є лінією перетину площин: і:. Здійснити перехід від загального рівняння до канонічного. Рівняння прямої L2
Нехай z=0, тоді
Отримаємо точку (;; 0), належить прямій L2.
Знайдемо координати направляючого вектора за формулою:, де,. Обчислимо векторний добуток.
Направляючий вектор прямої
Канонічне рівняння прямої, що проходить через точку з напрямним вектором має вигляд:
Підставами координати точки (;; 0) і і отримаємо
рівняння прямої L2:
7. Складемо рівняння прямої L 3, проходить через точки М 2 (1; - 1; 0), М 3 (- 2; 1; - 1)
Складемо рівняння прямої за формулою:
.
Остаточно рівняння прямої L3:
. Складемо рівняння площини, що проходить через точку М1 (4; 5; - 3), паралельної прямим L1: і L2:.
Рівняння площини має вигляд:
;
Розклавши визначник за елементами першого рядка, одержимо рівняння:
Після перетворень отримаємо рівняння площини:
. Визначимо кут між прямою L1: і площиною:
Знайдемо синус кута між прямою L1і площиною
10. Складемо рівняння площини, що проходить через точку М2 (1; - 1; 0) і паралельній площині, яка проходить через точку М1 (4; 5; - 3), з нормальним вектором d (- 1; 2; 5).
Так як площини паралельні, то нормальний вектор площини є також нормальним вектором для площині.
Рівняння площини, що проходить через точку і має нормальний вектор, має вигляд:
Складемо рівняння площини, яка проходить через точку М2 (1; - 1; 0) і має нормальний вектор d (- 1; 2; 5).
трикутник рівняння гаус матричний
Після перетворень отримаємо:
:
