их l1 і l2. Для цього вирішимо систему рівнянь цих прямих.
Таким чином, точка перетину: (- 3; - 1)
Завдання 7
Дано координати вершин піраміди А 1, А 2, А 3, А 4. Знайти:
1) кут між ребром А 1 А 4 і гранню А 1 А 2 А 3;
2) площа грані А 1 А 2 А 3;
) обсяг піраміди;
) рівняння прямої А 1 А 2;
) рівняння площини А 1 А 2 А 3;
) рівняння висоти, опущеної з вершини А 4 на межу А 1 А 2 А 3.
Зробити креслення.
А 1 (7; 7; 3), А 2 (6; 5; 8), А 3 (3; 5; 8), А 4 (8; 4; 1).
Рішення
1. Знайдемо кут між ребром А 1 А 4 і гранню А 1 А 2 А 3
Складемо рівняння прямої за формулою:
А 1 (7; 7; 3), А 4 (8; 4; 1).
, тобто А1А4:
Складемо рівняння площини А1А2А3 за формулою:
А1 (7; 7; 3), А2 (6; 5; 8), А3 (3; 5; 8),
,
Розклавши визначник за елементами першого рядка, одержимо рівняння:
Після перетворень отримаємо А1А2А3:
З рівняння прямої А1А4: спрямовує вектор
З рівняння площині А1А2А3: нормальний вектор
Знайдемо синус кута між прямою і площиною за формулою:
Знайдемо скалярний добуток векторів за формулою:
Знайдемо довжини векторів за формулою:
Знайдемо синус кута між прямою А1А4 і площиною А1А2А3.
2. Знайдемо площу грані А1А2А3. Для цього добудуємо трикутник А1А2А3 до паралелограма.
Розглянемо векторний добуток 2-х векторів.
Векторний добуток виражається формулою:
Знайдемо координати векторів і. Обчислимо векторний добуток.
Довжина (модель) векторного добутку чисельно дорівнює площі паралелограма, побудованого на цих векторах. Отже. Площа трикутника дорівнює
3. Обсяг піраміди. Модуль змішаного твори дорівнює обсягу паралелепіпеда, побудованого на цих векторах. Змішане твір обчислюється за формулою:
Знайдемо мішаний добуток векторів
,
4. Складемо рівняння прямої А1А2 за формулою:
А1 (7; 7; 3), А2 (6; 5; 8),.
Остаточно:
5. Складемо рівняння площини А 1 А 2 А 3 за формулою:
А1 (7; 7; 3), А2 (6; 5; 8), А3 (3; 5; 8),
,
Розклавши визначник за елементами першого рядка, одержимо рівняння:
Після перетворень отримаємо А1А2А3:
6. Складемо рівняння висоти, опущеної з вершини А 4 на межу А 1 А 2 А 3.
З рівняння площині А1А2А3: нормальний вектор
Висота проходить через точку А4 (8; 4; 1) паралельно вектору. Використовуємо формулу:
Підставами координати точки А4 і вектора.
Завдання 8
Задані координати векторів abcd і точок М1, М2, М3, М4
abcdМ1М2М3М41.1.- 5-3.6.- 43.6.2-1.2.54.5.- 3-2.5.- 3-2.1.- 1-6.5.2
Потрібно:
1) Скласти рівняння площини, яка проходить через точку М1 і має нормальний вектор a.
) Скласти рівняння площини, яка проходить через точки М1, М2, М3.
) Скласти рівняння площини, яка проходить через точку М2 і паралельної площині, що проходить через точки М1, М3 і М4
) Скласти рівняння площини, яка проходить через точки М2, М3 і перпендикулярної до площини, що проходить через точку М1 з нормальним вектором b.
) Скласти канонічне рівняння прямої L1, що проходить через точку М3 з напрямним вектором c.
) Скласти загальне рівняння прямої L2 в просторі, якщо вона є лінією перетину площин (з 1-го завдання) і (з 2-го завдання). Здійснити перехід від загального рівняння до канонічного.
) Скласти рівняння прямої L3, що проходить через точки М2 і М3.
) Скласти рівняння площини, що проходить через точку М1 паралельної прямим L1 (з 5-го завдання) і L2 (з 6-го завдання).
) Визначити кут між прямою L1 (з 5-го завдання) і площиною (з 2-го завдання).
) Скласти рівняння площини, що проходить через точку М2 і паралельній площині, яка проходить через точку М1 з нормальним вектором d.
Рішення
1. Рівняння площини, що проходить через точку і має нормальний вектор, має вигляд:
Складемо рівняння площини, яка проходить через точку М1 (4; 5; - 3) і має нормальний вектор a (1; 1; - 5).
Після перетворень отримаємо:
:
...
