т. е. функція однозначно відновлюється за своєю похідної. Будь-яка кусочно гладка функція є абсолютно неперервною.
Для будь-якого допустимого управління т. е. интегрируемой по Лебегу функції і будь-якого початкового стану можна також визначити рішення диференціального рівняння (2) з. Але в цьому випадку рішення вже не буде функцією безперервно диференціюється, а буде лише функцією абсолютно безперервною.
Теорема. Нехай функція в рівнянні (2) з < i align="justify"> інтегровна по Лебегу на відрізку Тоді для будь-якого початкового значення абсолютно безперервне рішення рівняння (2) з існує, є єдиним і для будь-якого задається формулою Коші (3) з , причому інтеграл в цій формулі розуміється в сенсі Лебега.
Доказ. Безпосередньо перевіряється, що функція, що задається формулою (3) з, є рішенням диференціального рівняння (2) з. Дійсно, при очевидно виконується початкова умова. Далі, використовуючи властивості експоненціала, знайдемо похідну функції
Видно, що вона збігається з правою частиною рівняння (2) з. Таким чином, при підстановці функції в рівняння (2) з отримуємо рівність
Зауважимо, що отримане рівність виконується лише для майже всіх, так як похідна абсолютно неперервної функції існує лише майже усюди. Класичне безперервно диференціюється рішення звертає рівняння в тотожність при всіх.
Проте, абсолютно неперервна функція називається рішенням диференціального рівняння (2) з , якщо рівність (1) виконується для майже всіх Якщо змінити управління в окремих точках або навіть на безлічі нульовий заходи, то рівність (1) зберегтися, і функція залишиться рішенням. Вона взагалі не зміниться, оскільки функція у формулі (3) стоїть під знаком інтеграла, а інтеграл Лебега не змінюється, якщо подинтегральную функцію змінити на безлічі нульовий заходи.
Залишилося довести єдність розв'язку Припустимо гидке, т. е. існують два різних абсолютно безперервних рішення і з одним і тим же початковою умовою. Нехай - перший такий момент часу, після якого рішення і розходяться. Виберемо мале число таке, що, і на відрізку часу розглянемо функцію . Оскільки і задовольняють рівності (1), для функції одержуємо співвідношення
Для майже всіх. Проинтегрировав його на відрізку, отримаємо рівність
так як. Таким чином, при всіх справедливе співвідношення
Оскільки функція неперервна на відрізку, вона досягає свого максимуму в деякій точці. Підставляючи в отримане співвідношення точку, отримаємо суперечливе нерівність
.
Тим самим єдність розв'язку встановлена. Теорема доведена.
Приклад 1. Нехай n=2. Знайти рішення системи рівнянь
де функція задається формулою
з початковою умовою на відрізку часу
В даному випадку, отже, і формула Коші (3) приймає вигляд
Інтегруючи функцію, отримуємо рішення
Це рішення кусково гладко, його похідна має розрив в точці
Приклад 2. Знайти рішення системи диференціальних рівнянь
з початковою умовою на правому кінці відрізка часу,, коли функція кусочно неперервна і задана умовою
Експоненціал матриці має вигляд
.
Підставивши цей вираз і умова в формулу
отримаємо вираз
Підставивши сюди функцію і проинтегрировав, отримуємо
при і
при
